Magnetická hydrodynamika

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. července 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Magnetohydrodynamika je fyzikální disciplína, která vznikla na průsečíku hydrodynamiky a elektrodynamiky kontinua . Předmětem jejího studia je dynamika vodivé tekutiny nebo plynu v magnetickém poli . Příklady studovaných médií jsou různé druhy plazmatu , tekuté kovy , slaná voda.

Hannes Alfven , který byl za svou práci oceněn v roce 1970 Nobelovou cenou , je uznáván jako průkopník ve výzkumu v oblasti teorie magnetohydrodynamiky . První experimentální prací v této oblasti byla Hartmannova studie z roku 1937 o odolnosti vůči proudění rtuti v trubici pod vlivem příčného magnetického pole.

Rovnice magnetohydrodynamiky

Kompletní systém rovnic nerelativistické magnetohydrodynamiky vodivé tekutiny má tvar:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ částečné {\vec {H))}{\částečné t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\jméno operátora {rot} \ vlevo[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\jméno operátora {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Tady:

$p$ je tlak v médiu;
$\rho$ je hustota média;
$\sigma$ — vodivost média;
$\eta$ je smyková viskozita média;
$\zeta$ je objemová viskozita média;
${\vec {v}}$ je rychlostní pole;
${\vec {H}}$ je síla magnetického pole .

Tento systém obsahuje 8 rovnic a umožňuje určit 8 neznámých ( , , , ) pro dané počáteční a okrajové podmínky. $p$ $\rho$ ${\vec {H}}$ ${\vec {v}}$

Pokud použijeme následující aproximace ( nedisipativní limit):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

pak lze systém MHD rovnic zapsat v jednodušší podobě:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\jméno operátora {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ částečné {\vec {H}}}{\částečné t}}=\jméno operátora {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Odvození rovnic

Odvození MHD rovnic z Maxwellovy a hydrodynamické rovnice

Zapišme systém Maxwellových rovnic do systému CGS :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ částečný t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\částečný {\vec {E}}}{\částečný t}} +{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\end{cases}}

Budeme vycházet z následujících předpokladů:

magnetická permeabilita je rovna jedné: $\mu=1;$
žádné elektrické náboje $\rho =0;$
Ohmův zákon má tvar: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Omezujeme se na nerelativistický případ ( ), tj. $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \částečné t}}\pravé|.$

Zdůvodnění nerelativistické aproximace.

Ukažme, že je ekvivalentní $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \částečné t}}\vpravo|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\partial {\vec E)){\partial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\částečné ^{2}{\vec H}}{\částečné t^{2}}}\vpravo |

Vyhodnoťme tento výraz:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

kde:

$L$ je charakteristická délka;
$\tau$ je charakteristická doba.

Tím se dostáváme k následujícímu vztahu:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

To znamená, že charakteristická rychlost v systému musí být mnohem menší než rychlost světla.

Maxwellovy rovnice v této aproximaci budou zapsány následovně:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ částečný t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Vyjádřením z Ohmova zákona a jeho dosazením do první rovnice dostaneme: ${\vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Dosazením proudu z Maxwellovy druhé rovnice do této rovnice dostaneme:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\krát {\vec {H}}\vpravo].

V limitu ideální vodivé tekutiny získáme: $\sigma \to \infty$

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

Pro spojení s hydrodynamikou je do Navier-Stokesovy rovnice přidán termín , který je zodpovědný za Ampérovu sílu působící na proudy z magnetického pole (proud je vyjádřen z druhé Maxwellovy rovnice prostřednictvím síly magnetického pole):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Aplikace

Principy magnetohydrodynamiky se využívají pro dálkové sledování a řízení chování tekutých kovů v průmyslu, zejména:

v čerpadlech MHD ;
v generátorech MHD .

Viz také

Literatura

V. Denisov «Úvod do elektrodynamiky materiálových médií: učebnice». - M .: Moskevské nakladatelství. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L. D., Lifshitz E. M. Elektrodynamika spojitých médií. - 4. vydání, stereotypní. — M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 s. - ("Teoretická fyzika", svazek VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Kotelnikov IA Přednášky o fyzice plazmatu. Svazek 2: Magnetohydrodynamika. - 3. vyd. - Petrohrad. : Lan , 2021. - 446 s. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Odkazy

Magnetická hydrodynamika v encyklopedii "Krugosvet".
Webové stránky časopisu Ústavu fyziky Lotyšské univerzity "Magnetohydrodynamics" (bývalý časopis "Magnetic hydrodynamics") .

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX524551 BNF : 11958825c GND : 4130803-7 J9U : 987007543557805171 LCCN : sh85079784 LNB : 000053294 NKC : ph122552

Úseky elektrodynamiky
Elektrostatika a elektrodynamika Magnetostatika a magnetodynamika Relativistická elektrodynamika kvantová elektrodynamika
Elektrodynamika spojitých médií	Magnetohydrodynamika Elektrohydrodynamika