Posunovací matice

Posuvná matice (také posuvná matice ) je binární matice s jedničkami pouze na hlavní superdiagonální nebo subdiagonální a nulami jinde. Matice posuvu U s jednotkami na superdiagonále se nazývá horní matice posuvu . Odpovídající subdiagonální matice L se nazývá matice s nižším posuvem . Složky matic U a L s indexy ( i , j ) mají tvar

U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},

kde je symbol delty Kronecker . $\delta _{{ij}}$

Například matice posunu 5×5

U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_&0&0&0\0}={\0&0&0{pmatrix \\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Je zřejmé, že transpozice matice s nižším posuvem vede k matici s horním posuvem a naopak. Násobení libovolné matice A zleva maticí s nižším posuvem vede k posunutí prvků matice A dolů o jednu pozici a horní řádek výsledné matice je vyplněn nulami. Pravé vynásobení libovolné matice A maticí s nižším posuvem má za následek posun doleva o jednu pozici, čímž se pravý sloupec vyplní nulami. Podobné operace zahrnující matici horního posunu vedou k opačným posunům.

Všechny matice posunu jsou nilpotentní : matice n×n posunu S k mocnině rovné jeho rozměru n se rovná nulové matici .

Vlastnosti

Nechť L a U jsou n×n matice posunu, dolní a horní. Následující vlastnosti platí pro obě matice U a L (proto je uvádíme pouze pro U ):

Determinant det( U ) = 0 ( degenerace );
Trace tr( U ) = 0;
Pořadí ( U ) = n − 1
Charakteristický polynom matice U má tvar:

p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.

U n = 0 (nulová potence). Tato vlastnost vyplývá z předchozí věty Hamilton-Cayley .

Permanentní per( U ) = 0.

Následující vlastnosti ukazují, jak spolu souvisí matice U a L :

L T \ u003d U ; U T = L. _

Jádra matic U a L :

\operatorname {ker} (U)=\operatorname {span} \{(1,0,\ldots ,0)^{T}\},

\operatorname {ker} (L)=\operatorname {span} \{(0,\ldots ,0,1)^{T}\}.

Spektrum matic U a L je nulové (to znamená, že mají jedinou vlastní hodnotu a ta se rovná nule): . Algebraická násobnost této nuly je n a její geometrická násobnost je 1. Z výrazů pro jádra vyplývá, že jediný (až do měřítka) vlastní vektor matice U má tvar a jediný vlastní vektor matice L má tvar formulář $\{0\}$ $(1,0,\ldots ,0)^{T},$ $(0,\ldots ,0,1)^{T}.$

Pro produkty LU a UL máme:

UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),

LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).

Obě tyto matice jsou idempotentní , symetrické a mají stejnou hodnost jako U a L.

L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( matice identity ), pro libovolné celé číslo a od 0 do n včetně.

Příklady

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix));\quad A={\begin&&&&1}1&1\12 1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.

Pak: $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix));\quad AS={\begin&&&&1}2&1\2\20 2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

Je zřejmé, že existuje mnoho různých permutací. Například matice odpovídá posunu matice A nahoru a doleva podél hlavní diagonály. $S^{T}AS$

S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix)})

Viz také

Nilpotentní matrice

Odkazy

Posun matice — záznam v referenční příručce matice