Kyvadlo Kapitsa

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. listopadu 2016; kontroly vyžadují 8 úprav .

Kyvadlo Kapitza je systém sestávající ze závaží připevněného k lehkému nevysouvacímu paprsku, který je připevněn k vibračnímu závěsu. Kyvadlo nese jméno akademika a nositele Nobelovy ceny P. L. Kapitsy , který v roce 1951 vybudoval teorii k popisu takového systému [1] . S pevným závěsným bodem model popisuje běžné matematické kyvadlo , pro které existují dvě rovnovážné polohy: ve spodním bodě a v horním bodě. V tomto případě je rovnováha matematického kyvadla v horním bodě nestabilní a jakákoli libovolně malá porucha vede ke ztrátě rovnováhy.

Úžasnou vlastností kyvadla Kapitza je, že na rozdíl od intuice může být obrácená (svislá) poloha kyvadla stabilní při rychlých vibracích odpružení. Ačkoli takové pozorování provedl již v roce 1908 A. Stephenson [2] , dlouho neexistovalo žádné matematické vysvětlení důvodů takové stability. P. L. Kapitsa experimentálně zkoumal takové kyvadlo a také vybudoval teorii dynamické stabilizace, rozdělující pohyb na „rychlé“ a „pomalé“ proměnné a zavádějící efektivní potenciál. Práce P. L. Kapitzy, publikovaná v roce 1951 [1] , otevřela ve fyzice nový směr – vibrační mechaniku. Metoda PL Kapitsy se používá k popisu oscilačních procesů v atomové fyzice , fyzice plazmatu a kybernetické fyzice . Efektivní potenciál popisující „pomalou složku pohybu“ popisuje ve svazku „mechanika“ kurzu teoretické fyziky L. D. Landau [3] .

Kapitzovo kyvadlo je zajímavé i tím, že v takto jednoduchém systému lze pozorovat parametrické rezonance , kdy spodní rovnovážná poloha již není stabilní a amplituda malých výchylek kyvadla s časem roste [4] . Také s velkou amplitudou vynucených oscilací mohou být v systému realizovány chaotické módy, kdy jsou v Poincarého sekci pozorovány podivné atraktory .

Notace

Osu nasměrujme svisle nahoru a osu vodorovně tak, aby k rovinnému pohybu kyvadla došlo v rovině ( - ). Představme si notaci: $y$ $X$ $X$ $y$

$\nu$ je frekvence vynucených vertikálních harmonických kmitů zavěšení,
$A$ je amplituda vynucených vibrací,
$\omega _{0}={\sqrt {g/l))$ je vlastní frekvence kmitů matematického kyvadla,
$G$ - gravitační zrychlení,
$l$ - délka světelné tyče,
$m$ - hmotnost nákladu.

Pokud je úhel mezi tyčí a osou označen jako , pak závislost souřadnic závaží na čase bude zapsána pomocí následujících vzorců: $y$ $\varphi$

\left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.

Energie kyvadla

Potenciální energie kyvadla v gravitačním poli je dána svislou polohou závaží as

E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).

V kinetické energii, kromě obvyklého pojmu popisujícího pohyb matematického kyvadla, existují další složky způsobené vibrací zavěšení: $E_{\text{kin}}=ml^{2}{\tečka {\varphi }}^{2}/2$

E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\tečka {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi ){\tečka {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).

Celková energie je dána součtem kinetických a potenciálních energií a Lagrangián systému je dán jejich rozdílem . $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}$ $L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}$

Pro matematické kyvadlo je celková energie zakonzervovanou veličinou, takže kinetická energie a potenciální energie na grafu jejich závislosti na čase jsou symetrické podle vodorovné přímky. Z viriálního teorému vyplývá, že průměrná kinetická a potenciální energie v harmonickém oscilátoru jsou stejné. Proto vodorovná čára, vzhledem k níž existuje symetrie a , odpovídá polovině celkové energie. $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$ $t$ $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$

Pokud gimbal kmitá, pak se celková energie již nešetří. Kinetická energie je citlivější na vynucené vibrace než potenciální energie. Potenciální energie je omezena shora i zdola: , zatímco kinetická energie je omezena pouze zdola: . Při vysokých frekvencích může být kinetická energie mnohem větší než potenciální energie. $E_{\text{pot}}=mgy$ $-mg(l+a)<E_{\text{pot))<mg(l+a)$ $E_{\text{kin}}\geqslant 0$ $\nu$

Pohybová rovnice

Pohyb kyvadla splňuje Euler-Lagrangeovy rovnice . Závislost fáze kyvadla na čase určuje polohu závaží [5] : $\varphi$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }} .

Diferenciální rovnice

{\ddot {\varphi }}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi }{l)),

popisující vývoj fáze kyvadla nelineárně v důsledku multiplikátoru v něm přítomného . Přítomnost nelineárního členu může vést k chaotickému chování a výskytu podivných atraktorů . $\sin \varphi$

Rovnovážné polohy

Model Kapitzova kyvadla je obecnější než matematický model kyvadla. To druhé se získá v limitujícím případě . Fázový portrét matematického kyvadla je dobře známý. V souřadnicové rovině je to jen kruh . Pokud byla v počátečním okamžiku energie kyvadla větší než maximální potenciální energie , pak bude trajektorie uzavřená a cyklická. Pokud by byla energie kyvadla menší , pak bude provádět periodické oscilace kolem jediného stabilního rovnovážného bodu s nejnižší hodnotou potenciální energie . V případě matematického kyvadla se celková energie soustavy nemění. $a=0$ $x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const}$ $E>mgl$ $E<mgl$ $x=0,~y=-l$

V případě, že systém již není uzavřen a jeho celková energie se může změnit. Pokud je zároveň frekvence vynucených kmitů mnohem větší než frekvence vlastních kmitů , pak lze takový případ matematicky analyzovat . Ukazuje se [1] , že pokud zavedeme efektivní potenciál, ve kterém se kyvadlo pohybuje (pomalu vzhledem k frekvenci ), pak tento potenciál může mít dvě lokální minima - jedno jako dříve v dolním bodě a druhé v horní bod . To znamená, že bod absolutně nestabilní rovnováhy pro matematické kyvadlo se může ukázat jako bod stabilní rovnováhy pro Kapitsovo kyvadlo. $a\neq 0$ $\nu$ $\omega_0$ $\nu$ $(0,-l)$ $(0,l)$ $(0,l)$

Fázový portrét

Zajímavé fázové portréty lze získat pro hodnoty parametrů, které nejsou k dispozici pro analytické posouzení, například v případě velké amplitudy oscilace zavěšení [6] [7] . Zvětšíme-li amplitudu vynucovacích kmitů na polovinu délky kyvadla , dostaneme obrázek podobný tomu na obrázku. $a\cca l$ $a=l/2$

S dalším zvýšením amplitudy (počínaje hodnotou ) se celý vnitřní prostor začne zcela „rozmazávat“, to znamená, že pokud dříve nebyly k dispozici všechny vnitřní body souřadnicového prostoru, nyní může systém navštívit kterýkoli bod. Je zřejmé, že další prodlužování již obraz zásadně nezmění. $A$ $a=l$ $A$

Zajímavosti

Jak poznamenal P. L. Kapitsa, kyvadlové hodiny na vibrační základně vždy spěchají.
Na chodbě Ústavu fyzikálních problémů byl funkční model Kapitsova kyvadla a kdo chtěl, mohl se na vlastní oči přesvědčit, jak se po zapnutí kyvadlo zvedlo a zůstalo ve svislé poloze.
Metodu efektivního potenciálu vyvinul P. L. Kapitsa při práci na vysokofrekvenčním generátoru „Nigotron“, pojmenovaném podle místa výzkumu v jeho dači na Nikolina Gora. Aby se předešlo problémům s „utajením“ při publikování metody, přichází P. L. Kapitsa s jednoduchým fyzikálním modelem, na který by byla tato metoda aplikovatelná. Existují tedy články [1] o kyvadle s vibrujícím závěsem.
P. L. Kapitsa nabídl řešení problému v upravené verzi těm, kteří nastoupili na jeho postgraduální školu. Bylo potřeba najít podmínku stability pro akrobata na desce umístěné na válci ležícím na boku. Očekávanou odpovědí bylo, že pokud akrobat začal rychle překračovat nohy, jeho pozice se ustálila.
Při chůzi se stabilita těla několikanásobně zvyšuje ve srovnání se stabilitou ve stoji. Tento biomechanický jev nebyl dosud studován. Existuje hypotéza, která vysvětluje stabilitu těla při chůzi s oscilačními pohyby středu hlezenního kloubu. Lidské tělo je znázorněno z pozice obráceného kyvadla se středem v oblasti hlezenních kloubů, které nabývá stability ve vertikální poloze, pokud jeho střed kmitá nahoru a dolů s dostatečně vysokou frekvencí (Kapitzovo kyvadlo).

Literatura

↑ 1 2 3 4 Kapitsa P. L. “Dynamická stabilita kyvadla s oscilujícím závěsným bodem” ZhETF, vol. 21, no. 5. str. 588-597 (1951); Kapitsa P. L. „Kyvadlo s vibračním závěsem“, UFN, vol. 44, no. 1. S. 7-20 (1951).
↑ A. Stephenson "O indukované stabilitě" Phil. Mag. 15, 233 (1908).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Mechanics. - 5. vydání, stereotypní. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — („Teoretická fyzika“, svazek I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Butikov E. I. “Kyvadlo s oscilačním závěsem (u příležitosti 60. výročí Kapitzova kyvadla)”, učebnice Archivní výtisk z 12. července 2014 na Wayback Machine .
↑ Krainov V.P. Vybrané matematické metody v teoretické fyzice. Nakladatelství MIPT (1996).
↑ Astrakharchik G.E. a Astrakharchik N.A. „Výzkum kyvadla Kapitza“ (GE Astrakharchik, NA Astrakharchik „Numerical study of Kapitza pendulum“) arXiv:1103.5981 (2011)
↑ Vizualizace pohybů kyvadla Kapitsa v reálném čase je dostupná na internetu na stránkách Archivovaná kopie (nepřístupný odkaz) . Získáno 8. dubna 2011. Archivováno z originálu 1. října 2011. (neurčitý) a http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Archivováno 2. května 2011 na Wayback Machine Parametry kyvadla lze zvolit libovolně a zadat ručně.