Metamatematika
Metamatematika je odvětví matematické logiky , které studuje základy matematiky , strukturu matematických důkazů a matematické teorie pomocí formálních metod . Termín metamatematika doslova znamená „za hranice matematiky“.
V širokém slova smyslu je metamatematika metateorií matematiky, která neznamená žádná zvláštní omezení povahy používaných metateoretických metod, způsobu upřesňování a objemu v ní studované „matematiky“.
Základní informace
Metamatematika považuje formalizovanou teorii za soubor určitých konečných sekvencí symbolů nazývaných vzorce a termíny, k nimž se přidává soubor operací prováděných na těchto sekvencích. Vzorce a termíny získané pomocí jednoduchých pravidel slouží jako náhrada za věty a funkce smysluplné matematické teorie. Operace se vzorci odpovídají základním krokům dedukce v matematickém uvažování. Vzorce odpovídající axiomům teorie obsahu fungují jako axiomy formalizované teorie. Vzorce, které lze z axiomů odvodit pomocí přijatých operací, odpovídají teorémům obsahové teorie. Soubor vzorců a soubor termínů, považovaných za soubory konečných posloupností s operacemi, zase mohou být objekty matematického výzkumu.
Rozvoj metamatematiky
V raném období rozvoje matematické logiky se používaly převážně jednoduché metody, všechny nekonečné byly vyloučeny. Vůdcem tohoto směru byl D. Hilbert , který věřil, že s pomocí jednoduchých metod bude metamatematika schopna prokázat konzistenci základních matematických teorií. Věty K. Gödela však ukázaly, že Hilbertův program není proveditelný. Použití konečných metod pro studium formalizovaných teorií je přirozené vzhledem k jejich zjevné konečnosti. Ale v praxi omezení metod dokazování na elementární metody značně komplikuje matematický výzkum. Pro hlubší průnik do podstaty formalizovaných teorií proto moderní metamatematika široce využívá složitějších, neomezených metod. Soubor termínů jakékoli formalizované teorie je algebra a soubor všech vzorců je také algebra. Po přirozené identifikaci ekvivalentních vzorců se množina všech vzorců stává mřížkou (strukturou), jmenovitě Booleovská algebra, pseudoBooleovská algebra, topologická Booleovská algebra atd., v závislosti na typu logiky přijaté v teorii. Tyto algebry zase souvisí s pojmem pole množin a topologický prostor. Z tohoto pohledu se jeví přirozené využívat v metamatematice metody algebry, teorie svazů (struktur), teorie množin a topologie. Široce se používá také Gödelova metoda aritmetizace a teorie rekurzivních funkcí.
Gödelovy teorémy by mohly být vnímány jako „konec“, ale svědčící o omezeních finitismu, formalismu a s nimi spojeného Hilbertova programu, jakož i axiomatické metody obecně, tyto teorémy zároveň sloužily jako silný podnět pro hledání důkazních prostředků (zejména důkazů konzistence) silnějších než konečných, ale v jistém smyslu také konstruktivních. Jednou z těchto metod byla transfinitní indukce k prvnímu nedosažitelnému konstruktivnímu transfinitu. Tato cesta umožnila získat důkaz o důslednosti aritmetiky (G. Gentsen, V. Ackerman, P. S. Novikov, K. Schütte, P. Lorenzen a další). Dalším příkladem je ultra-intuicionistický program pro základy matematiky, který umožnil získat absolutní (bez použití redukce na jiný systém) důkaz konzistence systému teorie množin Zermelo-Fraenkelových axiomů .
Cíle a cíle
Metamatematika zkoumá následující otázky:
- konzistentnost a úplnost formalizovaných teorií;
- axiom nezávislost;
- problém řešitelnosti;
- otázky definovatelnosti a ponoření některých teorií do jiných;
- podává přesnou definici pojmu důkaz pro různé formalizované teorie a dokazuje dedukční teorémy;
- studuje problémy interpretace formálních systémů a jejich různých modelů;
- zakládá různé vztahy mezi formalizovanými teoriemi.
Předmět a metoda metamatematiky
Předmět metamatematiky spočívá v takové abstrakci matematiky, kdy jsou matematické teorie nahrazeny formálními systémy, důkazy - nějakými posloupnostmi známých vzorců, definicemi - "zkrácenými výrazy", které jsou "teoreticky nepovinné, ale typograficky pohodlné."
Takovou abstrakci vynalezl Hilbert, aby získal mocnou techniku pro studium problémů metodologie matematiky. Zároveň existují problémy, které nespadají do rámce metamatematické abstrakce. Jsou mezi nimi všechny problémy související se „smysluplnou“ matematikou a jejím rozvojem a všechny problémy související se situační logikou a řešením matematických úloh.
Metodou je matematická logika .
Viz také
Literatura
- Gastev Y. Metamatematika. - Velká sovětská encyklopedie .
- Hilbert D. Základy geometrie. - M. - L. : GITTL, 1948. - 491 s.
- Engeler E. Metamatematika elementární matematiky. — M .: Mir, 1987. — 128 s.
- Kleene S. K. Úvod do metamatematiky / Per. z angličtiny. - M . : Zahraniční literatura, 1957. - 526 s.
- Curry H. B. Základy matematické logiky / per. z angličtiny. - M. , 1969. - kap. 2-3 s
- Gentsen G. Konzistence čisté teorie čísel / per. s ním .. - M. , 1967. - str. 77-153 str.
- Tarsky A. Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd / přel. z angličtiny. - M. , 1948.
Odkazy
- Lakatos I. Důkazy a vyvrácení: Jak se dokazují věty.
- Godlovy teorémy
- Metamathematics - článek z Velké sovětské encyklopedie .
- Metateorie jako hierarchie teorií podle V. F. Turchina
 Slovníky a encyklopedie | |
|---|---|
| V bibliografických katalozích |