Jacobiho metoda pro vlastní čísla

Jacobiho metoda pro vlastní čísla je iterativní algoritmus pro výpočet vlastních hodnot a vlastních vektorů skutečné symetrické matice . Pojmenován po Carlu Gustavu Jacobi Jacobim , který tuto metodu navrhl v roce 1846 [1] , i když metoda se začala používat až v 50. letech 20. století s příchodem počítačů [2] .

Popis

Nechť je symetrická matice a nechť je rotační matice . Pak $A$ $G=G(i,j,\theta )$

A'=G^{\top }AG

je symetrický a podobný matici . $A$

Kromě toho obsahuje následující komponenty: $A'$

{\begin{aligned}A'_{ii}&=c^{2}\,A_{ii}-2\,sc\,A_{ij}+s^{2}\,A_{jj }\\A'_{jj}&=s^{2}\,A_{ii}+2sc\,A_{ij}+c^{2}\,A_{jj}\\A'_{ij} &=A'_{ji}=(c^{2}-s^{2})\,A_{ij}+sc\,(A_{ii}-A_{jj})\\A'_{ik }&=A'_{ki}=c\,A_{ik}-s\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{jk}&=A'_{kj}=s\ ,A_{ik}+c\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{kl}&=A_{kl}&k,l\neq i,j\end{aligned}}

kde a . $s=\sin \theta$ $c=\cos \theta$

Protože je ortogonální matice, matice a mají stejné Frobeniovy normy (odmocniny součtů čtverců všech složek) a můžeme zvolit tak, že , a v tomto případě bude mít větší součet čtverců diagonálních prvků: $G$ $A$ $A'$ $||\cdot ||_{F}$ $\theta$ $A'_{ij}=0$ $A'$

A'_{ij}=\cos(2\theta )A_{ij}+{\tfrac {1}{2))\sin(2\theta )(A_{ii}-A_{jj})

Když to vyrovnáme nule, dostaneme

\operatorname {tg} (2\theta )={\frac {2A_{ij}}{A_{jj}-A_{ii}}}

Pokud , pak ${\displaystyle A_{jj}=A_{ii))$

\theta ={\frac {\pi }{4)).

Pro dosažení optimálního efektu je nutné požadovat, aby byl největší mimoúhlopříčný prvek v absolutní hodnotě, tzv. základní prvek. $A_{{ij}}$

Jacobiho metoda pro vlastní čísla se otáčí, dokud není matice téměř diagonální. Potom prvky na diagonále aproximují vlastní hodnoty matice . $A$

Poznámky

↑ Jacobi, CGJ Über ein leichtes Verfahren, die in der Theorie der Säkularstörungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulösen (německy) // Crelle's Journal . - 1846. - T. 30 . - S. 51-94 .
↑ Golub, G.H.; van der Vorst, HA Výpočet vlastních hodnot ve 20. století // Journal of Computational and Applied Mathematics : deník. - 2000. - Sv. 123 , č. 1-2 . - str. 35-65 . - doi : 10.1016/S0377-0427(00)00413-1 .