Metoda nekonečného sestupu

Metoda nekonečného sestupu je metoda dokazování kontradikcí , založená na skutečnosti, že množina přirozených čísel je kompletně uspořádaná . Významně vyvinutý Pierrem Fermatem .

Často se používá k prokázání toho, že některá rovnice nemá řešení podle následujícího schématu: z předpokladu, že řešení existuje, je dokázána existence jiného řešení, které je v určitém smyslu menší, pak lze sestavit nekonečný řetězec řešení, z nichž každé kterých je menší než předchozí, to způsobuje rozpor s tím, že v každé neprázdné podmnožině přirozených čísel je minimální prvek, pak je předpoklad existence počátečního řešení nepravdivý.

Příklad

Abychom dokázali iracionalitu pomocí metody nekonečného sestupu, předpokládá se, že jde o racionální číslo : ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}

pro některá přirozená čísla a . Pak druhá mocnina tohoto čísla je: $p$ $q$

2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}

to je . To znamená, že jde o sudé číslo. Pro : , když je nahrazeno za : . Vydělením obou částí 2 dostaneme: , což znamená, že jde také o sudé číslo. Původní čísla a lze tedy současně vydělit 2 a získat tak jinou reprezentaci . S výslednými čísly můžete provést stejnou operaci a tak dále nekonečněkrát. Tak se sestrojí nekonečně klesající posloupnost přirozených čísel, což je nemožné. To znamená, že to není racionální číslo . $2q^{2}=p^{2}$ $p$ $p=2r$ ${\displaystyle p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2))$ $4r^{2}$ $p^{2}$ $2q^{2}=4r^{2}$ $q^{2}=2r^{2}$ $q$ $p$ $q$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

Odkazy

L. Kurlyandchik, G. Rosenblum. Metoda nekonečného sestupu // Kvant . - 1978. - č. 1 . - S. 24-27 .