Metoda stacionární fáze

Metoda stacionární fáze je metoda používaná k aproximaci integrálů tvaru . $\int \limits _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}\Phi (x)\,dx$

Základy

Hlavní myšlenkou metody stacionární fáze je redukce sinusoid s rychle se měnící fází. Pokud má mnoho sinusoid stejné fáze, pak se sčítají a vzájemně se posilují. Pokud však tyto stejné sinusoidy mají fáze, které se rychle mění s frekvencí, budou se sčítat, buď se navzájem posilují nebo oslabují.

Příklad

Zvažte funkci

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i{\big (}k(\omega )x-\omega t{\big )}}\,d\omega .

Fázový člen v této funkci je "stacionární", když $\phi =k(\omega )x-\omega t$

{\frac {d}{d\omega }}{\big (}k\left(\omega \right)x-\omega t{\big )}\cca 0

nebo ekvivalentně,

{\frac {d\omega }{dk))\cca {\frac {x}{t)).

Kořen této rovnice udává dominantní frekvenci pro dané a . Pokud rozvineme φ v Taylorově řadě blízko a zanedbáme členy vyššího řádu vzhledem k , pak $\omega _{\text{dom}}(x,t)$ $X$ $t$ $\omega _{\text{dom}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{\text{dom)))^{2))$

\phi \sim k(\omega _{\text{dom)))x-\omega _{\text{dom}}t+{\frac {x}{2}}{\frac {d^{ 2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}})^{2}.

Když je x velké, i malý rozdíl způsobí rychlé oscilace v integrandu, což má za následek kontrakci. Můžeme tedy rozšířit integrační hranice za Taylorovy expanzní hranice. Aby se zohlednily záporné frekvence, musí být skutečná část zdvojnásobena: $\omega -\omega _{\text{dom}}$

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}2\jméno operátora {Re} \left\{\exp {\big (}i[k(\omega _{\text{ dom)))x-\omega _{\text{dom}}t]{\big )}|F(\omega _{\text{dom}})|\int _{\mathbb {R} }\exp \left(i{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}}) ^{2}\right)\,d\omega \right\}.

Po integraci máme

f(x,t)\sim {\frac {|F(\omega _{\text{dom)))|}{\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\ vlevo|{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}\right|}}}\cos \left(k(\omega _{\text{dom}})x-\ omega _{\text{dom}}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right).

Knihy

Fedoryuk M. V. Metoda pasu. - 1977. - S. 366.
A. I. Prilepko, D. F. Kaliničenko. Asymptotické metody a speciální funkce. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveshnikov, A. N. Tichonov. Teorie funkcí komplexní proměnné. - 5. vyd. - M. : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Metoda stacionární fáze

Základy

Příklad

Knihy

Viz také