Faberovy polynomy

Faberovy polynomy jsou zobecněním Chebyshevových polynomů .

Definice

Nechť — ohraničené kontinuum — je ohraničená neprázdná spojená množina obsahující více než jeden bod. A je to regionů sousedících s nimi . je jednoduše spojená oblast rozšířené roviny , jejíž hranice je součástí kontinua . $K$ ${\displaystyle g_{\infty ))$ $K$ $z=\infty$ $g_{\infty }\equiv D$ ${\displaystyle \Gamma _{\infty ))$ $K$

Oblast je mapována konformně k vnějšku kružnice se středem v bodě funkcí tak, že jsou splněny dvě podmínky: ${\displaystyle g_{\infty ))$ $w=0$ $w=\Phi (z)$

\Phi (\infty )=\infty

\lim _{z\to \infty }\Phi (z)/z=\gamma >0

kde je funkce jednoznačně definována. Z těchto podmínek vyplývá , že funkce , která je analytická v oblasti , kromě bodu , má v bodě jednoduchý pól , a proto má její Laurentova expanze v nějakém okolí bodu tvar $\Phi (z)$ $w=\Phi (z)$ $D$ $z=\infty$ $z=\infty$ $z=\infty$

\Phi (z)=\gamma z+\gamma _{0}+\gamma _{1}/z+\gamma _{2}/z^{2}+\ldots .

Faberův polynom n-tého řádu generovaný kontinuem se nazývá polynom $K$

\Phi _{n}(z)=\gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2 }^{(n)}z^{n-2}+\ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}

což jsou členy s nezápornými mocninami v Laurentově expanzi funkce v okolí bodu v nekonečnu. $z$ ${\displaystyle \Phi (z)^{n))$

Vlastnosti

Čebyševovy polynomy jsou speciálním případem Faberových polynomů pro . $K=[-1;1]$

Odkazy

Polynomy Suetin P. K. Faber.
Weisstein, Eric W. Faber Polynomial (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .