Model Debye

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. prosince 2018; kontroly vyžadují 9 úprav .

V termodynamice a fyzice pevných látek je Debyeův model metodou vyvinutou Debyem v roce 1912 pro odhadování fononového příspěvku k tepelné kapacitě pevných látek. Debyeův model považuje vibrace krystalové mřížky za plyn kvazičástic - fononů. Tento model správně předpovídá tepelnou kapacitu při nízkých teplotách, která je podle Debyeova zákona úměrná . V limitu vysokých teplot má molární tepelná kapacita podle Dulong-Petitova zákona tendenci k , kde je univerzální plynová konstanta . $T^3$ $3R$ $R$

Debye při konstrukci své teorie učinil následující předpoklady: [1]

Pevné těleso je spojité médium.
Toto médium je elasticky izotropní.
V médiu nedochází k žádné disperzi.
Elastické vlastnosti média nezávisí na teplotě.

Při tepelné rovnováze je energie sady oscilátorů s různými frekvencemi rovna součtu jejich energií: $E$ ${\displaystyle \omega _{\mathbf {K} ))$

$E=\sum _{\mathbf {k} }{\langle n_{\mathbf {k} }\rangle \hbar \omega _{\mathbf {k} }}=\int {D(\omega ) n(\omega )\hbar \omega d\omega },$

kde je počet režimů normálních vibrací na jednotku délky frekvenčního intervalu, je počet oscilátorů v pevné látce, které kmitají s frekvencí . $D(\omega)$ $n(\omega)$ $\omega$

Funkce hustoty v trojrozměrném případě má tvar: $D(\omega)$

$D(\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{2\pi ^{2}v^{3}}},$

kde je objem pevného tělesa, je rychlost zvuku v něm. $PROTI$ $proti$

Hodnota kvantových čísel se vypočítá podle Planckova vzorce :

$n={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T))-1)).$

Poté bude energie zapsána jako:

$E=\int \limits _{0}^{\omega _{D}}{\left({\frac {\omega ^{2}V}{2\pi ^{2}v^{3 ))}\right)\left({\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T))-1}}\right)d\omega },$

${\frac {E}{Nk_{B}}}=9T\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{T_{D }/T}{x^{3} \přes e^{x}-1}\,dx,$

kde je Debyeova teplota , je počet atomů v pevné látce, je Boltzmannova konstanta . $T_D$ $N$ $k_B$

Diferencováním vnitřní energie s ohledem na teplotu získáme:

{\frac {c_{v}}{Nk_{B}}}=9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{ T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\,dx.

Molární tepelná kapacita pevné látky v Debyeově teorii

Debyeův model bere v úvahu, že tepelná kapacita pevné látky je parametrem rovnovážného stavu termodynamického systému. Proto vlny vybuzené v pevném tělese elementárními oscilátory nemohou přenášet energii. To znamená, že jsou to stojaté vlny. Pokud je vybráno tuhé těleso ve tvaru pravoúhlého rovnoběžnostěnu s hranami , , , pak lze podmínky pro existenci stojatých vln zapsat jako: $A$ $b$ $C$

n_{1}{\frac {\lambda _{x}}{2}}=a,\ n_{2}{\frac {\lambda _{y}}{2}}=b,\ n_ {3}{\frac {\lambda _{z}}{2}}=c,

kde jsou celá čísla. $n_1,\ n_2,\ n_3$

Přejděme k prostoru postavenému na vlnových vektorech. Od té doby $k=2\pi /\lambda$

k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}=\pi {\frac {n_{1}}{a)),\ k_{y}={\ frac {2\pi }{\lambda _{y))}=\pi {\frac {n_{2}}{b)),\ k_{z}={\frac {2\pi }{\lambda _ {z}}}=\pi {\frac {n_{3}}{c}}.

Oscilátory tedy mohou existovat v pevném tělese s diskrétně se měnícími frekvencemi. Jeden oscilátor v -space odpovídá buňce s objemem $k$

\tau =\Delta k_{x}\Delta k_{y}\Delta k_{z}={\frac {\pi ^{3}}{a\cdot b\cdot c}}={\frac {\pi ^{3}}{V}},

kde

\Delta k_{x}={\frac {\pi }{a)),\ \Delta k_{y}={\frac {\pi }{b)),\ \Delta k_{z}= {\frac {\pi }{c).

V -prostoru odpovídají oscilátory s frekvencemi v intervalu jednomu oktantu kulové vrstvy o objemu $k$ $(\omega ,\omega +d\omega )$

dV_{k}={\frac {4\pi k^{2}dk}{8}}={\frac {\pi k^{2}dk}{2)).

V tomto objemu je počet oscilátorů

$dN_{k}={\frac {dV_{k}}{\tau }}={\frac {Vk^{2}dk}{2\pi ^{2}}}$

Vezměme v úvahu, že každý oscilátor generuje 3 vlny: 2 příčné a jednu podélnou . Ve stejnou dobu . $k_{\parallel }={\frac {\omega }{v_{\parallel }}},\ k_{\perp }={\frac {\omega }{v_{\perp }}}$

Najděte vnitřní energii jednoho molu pevného tělesa. Za tímto účelem napíšeme vztah mezi vlnovým číslem, rychlostí šíření vlny a frekvencí:

$k^{2}=k_{\|}^{2}+2k_{\bot }^{2}=\left({\frac {1}{v_{\|}^{2))} +{\frac {2}{v_{\bot }^{2}}}\right)\omega ^{2},$

$dN_{k}={\frac {V}{2\pi ^{2))}\left({\frac {1}{v_{\|}^{2))}+{\frac { 2}{v_{\bot }^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\omega ^{2}d\omega =A\omega ^{2}d\omega .$

Oscilace v pevném tělese jsou omezeny maximální hodnotou frekvence . Určíme mezní frekvenci z podmínky: $\omega_m$

$N=\int dN_{k}=\int _{0}^{\omega _{m))A\omega ^{2}d\omega =A{\frac {\omega _{m}^ {3}}{3}}=3N_{A},$

$dN_{k}=9N_{A}{\frac {\omega ^{2}d\omega }{\omega _{m}^{3))}.$

Vnitřní energie jednoho molu tedy:

$U_{M}=\int \langle \varepsilon \rangle dN_{k}=\int _{0}^{\omega _{m))\hbar \omega \left({\frac {1}{ e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)9N_{A}{\frac {\omega ^{2 }d\omega }{\omega _{m}^{3}}},$

kde je průměrná energie kvantového oscilátoru (viz Einsteinův model tepelné kapacity ), $\langle \varepsilon \rangle$

$k_B$ je Boltzmannova konstanta,

$N_A$ je Avogadro číslo.

V posledním výrazu provedeme následující změnu proměnných:

$X={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T))$ ; ; ; $\hbar \omega _{m}=k_{B}\Theta$ $X_{m}={\frac {\hbar \omega _{m}}{k_{B}T}}=\Theta /T$ ${\frac {\omega }{\omega _{m))}=X{\frac {k_{B}T}{\hbar }}{\frac {\hbar }{k_{B}\Theta }}=X{\frac {T}{\Theta }}=X{\frac {k_{B}T}{\hbar \omega _{m}}},$

$\Theta$ je Debyeova teplota .

Teď se dostaneme ${\displaystyle U_{M))$

$U_{M}=9N_{A}\hbar \int _{0}^{\omega _{m}}\left({\frac {1}{e^{X}-1}}+{ \frac {1}{2}}\right){\frac {\omega ^{3}d\omega }{\omega _{m}^{3}}}=9N_{A}\hbar \left({ \frac {T}{\Theta }}\right)^{3}{\frac {k_{B}T}{\hbar }}\int _{0}^{\frac {\Theta }{T}} \left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)x^{3}dx=$

$=9RT\left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{3}\int _{0}^{\frac {\Theta }{T}}\left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)x^{3}dx=9R\Theta \left[{\frac {1}{8}} +\left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{4}\int _{0}^{\frac {\Theta }{T}}{\frac {x^{3}dx }{e^{x}-1}}\right].$

Nakonec pro molární tepelnou kapacitu dostaneme

C={\frac {dU_{M}}{dT}}=3R\left[12{\left({\frac {T}{\Theta }}\right)}^{3}\int _ {0}^{\Theta /T}{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx-{\frac {3\Theta /T}{e^{\Theta /T }-1}}\vpravo].

Je snadné to ověřit za podmínky tepelné kapacity a za podmínky tepelné kapacity $T\to \infty$ $C\to 3R$ $T\to 0$ $C\to {\frac {12\pi ^{4}}{5}}\cdot R\cdot \left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{3}\sim T^{3}.$

Integrál lze vzít metodami teorie funkcí komplexní proměnné nebo pomocí Riemannovy zeta funkce . Debyeova teorie je tedy v souladu s experimentálními výsledky. $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx={\frac {\pi ^{4}}{15} }$

Poznámky

↑ Blatt F. Fyzika elektronové vodivosti v pevných látkách. - M., Mir, 1971. - str. 64

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistická fyzika. Část 1. - Vydání 5. — M .: Fizmatlit , 2005. — 616 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek V). — ISBN 5-9221-0054-8 .