Model Plummer

Plummerův model , také Plummerova koule ( angl. Plummer model , angl. Plummer sphere ) je zákon rozdělení hustoty, který poprvé aplikoval G. Plummer při studiu kulových hvězdokup [1] . Často se používá jako zjednodušený model v rámci modelování v problému N-těles .

Popis modelu

Trojrozměrný profil hustoty v modelu Plummer má tvar

\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a ^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},

kde je celková hmotnost simulovaného objektu, a je tzv. Plummerův poloměr , parametr měřítka, který nastavuje charakteristickou velikost jádra systému. Odpovídající potenciál má tvar $M_{0}$

\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},

kde G označuje gravitační konstantu . Rozptyl rychlosti je

\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2))))}.

Distribuční funkce má tvar

f({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {24{\sqrt {2))}{7\pi ^{3))}{\frac {Na ^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},

pokud a jinak. Ukazuje energii na jednotku hmotnosti. $E<0$ $f({\vec {x)),{\vec {v)))=0$ $E({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)$

Vlastnosti

Hmotnost uvnitř koule o poloměru : $r$

M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.

Mnoho vlastností Plummerova modelu je popsáno v článku Herwiga Deyonge [2] .

Poloměr jádra , při kterém hustota klesne na polovinu hodnoty ve středu, je . $r_{c}$ $r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\cca 0,64a$

Poloměr, který obsahuje polovinu hmotnosti $r_{h}=\left({\frac {1}{0,5^{2/3}}}-1\right)^{-0,5}a\cca 1,3a.$

Virální poloměr je . $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\cca 1,7a$

Dvourozměrná povrchová hustota je

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^ {2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a ^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

tedy dvourozměrný profil rozložení hmoty:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a ^{2}+R^{2}}}$ .

V astronomii může být také nutné určit poloměr, ve kterém je polovina hmoty obsažena ve dvourozměrném rozložení . $M(R_{1/2})=M_{0}/2$

Pro model Plummer . $R_{1/2}=a$

Body obratu oběžné dráhy částic podél poloměru jsou charakterizovány specifickou energií a specifickým momentem hybnosti , odpovídající hodnoty vzdáleností lze nalézt jako kořeny kubické rovnice $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$

R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2 }\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,

kde tedy . Tato rovnice má tři skutečné kořeny : dva kladné a jeden záporný, v , kde je specifický moment hybnosti pro kruhovou dráhu se stejnou energií. lze vypočítat z jediného reálného kořene diskriminantu kubické rovnice, která je sama o sobě kubickou rovnicí ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2))))$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2))))$ $R$ $L<L_{c}(E)$ $L_{c}(E)$ $L_c$

{\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}} ^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\podtržení {L}}_{c}^{2}+\left(12{\podtržení {E}}^{3}{ \underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{ \underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,

kde podtržené parametry jsou bezrozměrné v jednotkách Henon definovaných jako , a . ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V))))$ ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$

Aplikace

Plummerův model umožňuje reprezentovat pozorované hustotní profily hvězdokup, i když rychlý pokles hustoty na velké vzdálenosti ( ) není pro tyto účely vhodný. $\rho \rightarrow r^{-5}$

Chování hustoty v blízkosti středu soustavy neodpovídá pozorovaným charakteristikám eliptických galaxií, ve kterých hustota roste silněji směrem ke středu.

Snadnost, s jakou lze Plummerův model aplikovat na metodu Monte Carlo , učinila Plummerův model velmi oblíbeným v modelování N-těl, a to i přes nedostatek realismu modelu [3] .

Poznámky

↑ Plummer, H.C. (1911), O problému distribuce v kulových hvězdokupách Archivováno 26. června 2019 ve Wayback Machine , Mon. Ne. R. Astron. soc. 71,460 .
↑ Dejonghe, H. (1987), Zcela analytická rodina anizotropních Plummerových modelů Archivováno 26. června 2019 na Wayback Machine . Po. Ne. R. Astron. soc. 224 , 13.
↑ Aarseth, SJ, Henon, M. a Wielen, R. (1974), Srovnání numerických metod pro studium dynamiky hvězdokupy. Archivováno 19. dubna 2020 na Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37,183 .