Modul automorfismu

Modul automorfismu je reálné kladné číslo spojené s automorfismem lokálně kompaktní grupy .

Jestliže je taková grupa a je nějakým automorfismem grupy jako topologické grupy, pak je modul automorfismu a definován vzorcem $G$ $A$ $G$

mod(A)=\mu A(S)/\mu S

?, kde je levá invariantní Haarova míra na skupině a je libovolnou kompaktní podmnožinou skupiny kladné míry (a nezávisí na volbě ).

\mu

G

S

G

mod(A)

S

Pokud je kompaktní nebo diskrétní, pak je to vždy , protože pro kompaktní skupinu lze dát , a pro diskrétní , kde je jakýkoli prvek . $G$ $mod(A)=1$ $S=G$ $S = a$ $A$ $G$

Jestliže a jsou dva automorfismy grupy G, pak $A$ $A'$

mod (A\circ A)= mod(A) mod(A').

Jestliže je nějaká topologická grupa, která spojitě působí na grupu automorfismy, pak definuje spojitý homomorfismus , kde je multiplikativní grupa reálných kladných čísel. $\Gamma$ $G$ $mod$ $mod:\Gamma\to \R_+$ $\R_+$

Zejména tím, že ke každému prvku přiřadíme vnitřní automorfismus jím generované grupy a vezmeme v úvahu modul tohoto automorfismu, získáme spojitý homomorfismus do grupy . Tento homomorfismus je triviální právě tehdy, když je levo-invariantní Haarova míra na grupě současně pravo-invariantní. Skupiny, které splňují poslední podmínku, se nazývají unimodulární . $v G$ $G$ $G$ $\R_+$ $G$

Literatura

James E. Humphreys Aritmetické skupiny , Poznámky z přednášky z matematiky 789, Springer Verlag 1980, str. 2.