Více indexů

Multi -index (nebo multi-index ) je zobecněním konceptu celočíselného indexu na vektorový index, který našel uplatnění v různých oblastech matematiky spojených s funkcemi mnoha proměnných. Použití více indexů pomáhá zjednodušit (zapsat stručněji) matematické vzorce.

Matematická notace pro multi-index

n - dimenzionální multi-index je vektor

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),

složený z nezáporných čísel. Pro dva multiindexy a vektor zadejte: ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n))$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n))$

Komponentové sčítání a odčítání

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})

Částečná objednávka

{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\))

Absolutní hodnota jako součet složek

{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n))

Faktorový

\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!

Binomický koeficient

{\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _ {n} \vyberte \beta _{n}}

Umocňování

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n} }

Nejvyšší parciální derivace

\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^ {\alpha _{n))

kde

\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}

Některé aplikace

Použití multi-indexu umožňuje snadno rozšířit mnoho vzorců klasické analýzy na vícerozměrný případ. Zde jsou nějaké příklady:

Multinomické koeficienty

To se týká zobecnění Bernoulliho vzorce na vícerozměrný případ:

{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k !}{\alpha !}}\,x^{\alpha }

Leibnizův vzorec

Pro hladké funkce f a g

\partial ^{\alpha }(fg)=\součet _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha - \nu }g.

Rozšíření Taylorovy řady

Analytická funkce f n proměnných vyhovuje expanzi

f(x+h)=\součet _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n))^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x )}{\alpha !}}h^{\alpha }}.

Ve skutečnosti pro dostatečně hladké funkce platí konečný Taylorův vzorec

f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}({\frac {\částečné ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),

kde poslední člen (zbytek) může být zapsán v různých podobách. Například v (celkovém) Cauchyho tvaru dostaneme

R_{n}(x,h)=(n+1)\součet _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\částečné ^{\alpha }f(x+th)\,dt.

Operátor diferenciace

Formální operátor pro převzetí parciální derivace N -tého řádu v n - rozměrném prostoru je zapsán takto:

P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha )).

Integrace po částech

Pro dostatečně hladké konečné funkce v omezené doméně máme: $\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}$

\int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{} {(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.

Tento vzorec se používá při definici zobecněných funkcí a slabých derivací .

Příklad použití ve větě

Pokud jsou více indexy a , pak ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n))$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!))x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{jinak.}}\end{cases}}

Důkaz

Důkaz je založen na pravidle převzetí obyčejné derivace mocninné funkce:

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\ alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{jinak.}}\end{cases}} \qquad(1)

Nechte , a . Pak $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

{\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\ alfa _{1))\cdots \částečné x_{n}^{\alpha _{n))))x_{1}^{\beta _{1))\cdots x_{n}^{\beta _{ n))\\&={\frac {\částečné ^{\alpha _{1))}{\částečné x_{1}^{\alpha _{1))))x_{1}^{\beta _ {1}}\cdots {\frac {\částečné ^{\alpha _{n}}}{\částečné x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{ n}}.\end{aligned}}

Zde se každá derivace redukuje na odpovídající obyčejnou derivaci , protože pro každé i z {1, . . ., n }, funkce závisí pouze na . Z rovnice (1) tedy vyplývá, že zaniká, jakmile α i > β i pro alespoň jedno i z {1, . . ., n }. Jinak (když α ≤ β ) dostaneme ${\displaystyle \partial /\partial x_{i))$ ${\displaystyle d/dx_{i))$ $x_{i}^{\beta _{i))$ $x_{i}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta ))$

{\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\ frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}

pro všechny . $i$ $\Box$

Odkazy

Saint Raymond, Xavier (1991). Základní úvod do teorie pseudodiferenciálních operátorů . Kapitola 1.1. C.R.C. Press. ISBN 0-8493-7158-9

Tento článek používá materiál z víceindexové odvozeniny PlanetMath power page , která je licencována pod CC-BY-SA .