Přirozené rovnice

Přírodní rovnice - vztahy o křivosti a kroucení biregulárních křivek . Pozoruhodnou vlastností přírodních rovnic je, že z nich lze jednoznačně rekonstruovat křivku. Přírodní rovnice, rovnice vyjadřující křivost a kroucení křivky v závislosti na jejím oblouku: , . Název "Přirozené rovnice" je vysvětlen tím, že funkce a nezávisí na poloze křivky v prostoru (na volbě souřadnicového systému), ale závisí pouze na tvaru křivky. Dvě třikrát spojitě diferencovatelné křivky se stejnými přirozenými rovnicemi se od sebe mohou lišit pouze svou polohou v prostoru. Jinými slovy, tvar křivky je jednoznačně určen jejími přirozenými rovnicemi. Jsou-li dány dvě spojité funkce a , z nichž první je kladná, pak vždy existuje křivka, pro kterou jsou těmito funkcemi křivost a kroucení. $k$ $\varkappa$ $k=k(s)$ $\varkappa =\varkappa (s)$ $k(s)$ $\varkappa(s)$ $k(s)$ $\varkappa(s)$

Přirozené rovnice rovinných křivek

Nechť je libovolná hladká funkce. V tomto případě existuje křivka , která je jedinečná až do orientace zachovávajícího pohybu roviny, parametrizovaná přirozeným parametrem a taková, že ve všech bodech křivky. Zde je veličinou orientované zakřivení křivky . $f(s)$ $\gamma$ $s$ $f(s)=k_{o}(s)$ $k_{o}(s)$ $\gamma$

Přírodní rovnice ve třech rozměrech

Dovolit a být dvě libovolné hladké funkce a být pozitivní. Pak existuje křivka parametrizovaná přirozeným parametrem , jejíž zakřivení a kroucení jsou stejné v každém bodě , resp. Taková křivka je jedinečná až do pohybu prostoru, který zachovává orientaci. $f(s)$ $g(s)$ $f(s)$ $\gamma$ $s$ $f(s)$ $g(s)$