Hadamardova nerovnost

Hadamardova nerovnost (také Hadamardova věta o determinantech [1] ), definuje horní hranici objemu tělesa v -rozměrném euklidovském prostoru , danou vektory . Pojmenován po Jacquesu Hadamardovi . $n$ $n$

Formulace

Dovolit , a být matice , jejíž sloupce jsou vektory . Pak $v_{i}\in \mathbb{R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $M$ $v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

|\det(M)|\leqslant \prod _{{i=1}}^{n}{||v_{i}||}_{2},

kde je euklidovská norma vektoru . ${||\cdot ||}_{2}$

Jinými slovy, z hlediska geometrie je objem -rozměrného tělesa maximální, když vektory , které jej definují, jsou vzájemně kolmé. $n$

Lemma

Nejprve dokážeme malé lemma:

Pokud je matice rozměrů kladně jednoznačná , pak $A$ $n\krát n$

|A|\leqslant a_{{11}}a_{{22}}\ldots a_{{nn}}.

Důkaz lemmatu

Determinant může být reprezentován jako $|A|$

|A|=a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\\ \ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{{12}}&\ldots &a_{{ 1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{ n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Protože je kladně definitní, pak matice, která je prvním členem v součtu, je také kladně definitní, proto kvadratická forma v proměnných , která je druhým členem, není kladně definitní. Kvůli tomu $A$ $a_{{12}},\;a_{{13}},\;\ldots ,\;a_{{1n}}$

|A|\leqslant a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\ \\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Použitím indukce tedy získáme požadovaný výsledek.

Důkaz Hadamardovy nerovnosti

K prokázání Hadamardovy nerovnosti je nutné dokázané lemma aplikovat na kladně definitní čtvercovou matici tvaru . $A=MM^{T}$

Matice, jejichž determinanty dosahují Hadamardovy hranice

V kombinatorice se matice s prvky , pro které platí rovnost v Hadamardově nerovnosti, nazývají Hadamardovy matice . Modulo determinant takových matic je tedy . Z takových matic se získají Hadamardovy kódy . $\{+1,\;-1\}$ $n^{{{\frac {n}{2))))$

Viz také

Plotkinova hranice

Poznámky

↑ Hadamardova věta // Matematická encyklopedie / I. M. Vinogradov. — 1977.

Literatura

R. Bellman, Úvod do maticové analýzy , SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
FJ MacWilliams a NJA Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes , Amsterdam, Nizozemsko, Severní Holandsko, § 2.3, 1977.
EF Beckenbach a R. Bellman, Nerovnosti , Berlín-Göttingen-Heidelberg, Německo, Ch. 2, § 11, 1961.