Bernoulliho nerovnost

Bernoulliho nerovnost stavy [1] : if , then $x>-1$

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

pro všechny přirozené

n\geqslant 1.

Důkaz

Důkaz nerovnosti se provádí metodou matematické indukce na n . Pro n = 1 je nerovnost zjevně pravdivá. Řekněme, že to platí pro n , dokažme, že to platí pro n +1:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x =1+(n+1)x

h.t.d.

Generalizovaná Bernoulliho nerovnost

Zobecněná Bernoulliho nerovnost uvádí [1] , že pro a : $x > -1 \!\$ $n\in\mathbb{R}$

pokud , tak $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
pokud , tak $n\in(0;1) \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
zatímco rovnosti je dosaženo ve dvou případech: $\left[\begin{matice} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.$

Důkaz

Zvažte a . Derivát v , od . Funkce je dvakrát diferencovatelná v punktovaném okolí bodu . Proto . Dostaneme: $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$ $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$
$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ $x=x_0=0 \!\$ $n \neq 0 \!\$
$F\!\$ $x_0 \!\$ $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$

$f''(x)>0 \!\$ ⇒ v $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
$f''(x)<0 \!\$ ⇒ v $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(0;1) \!\$

Hodnota funkce tedy platí následující tvrzení: $f(x_0)=1 \!\$

pokud , tak $n\in(-\infty ;0)\pohár[1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
pokud , tak $n\in(0;1] \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Je snadné vidět, že pro odpovídající hodnoty nebo funkce . V tomto případě v konečné nerovnosti mizí omezení na , uvedená na začátku důkazu, protože pro ně platí rovnost. ■ $x_0=0 \!\$ $n=0, n=1 \!\$ $f(x)=f(x_0) \!\$ $n\!\$

Poznámky

Nerovnice platí i pro (at ), pokud vyloučíme případ, kdy je nula získána mocninou nuly . Důkaz pro případ lze provést stejnou metodou matematické indukce: $x\geqslant-2$ $n\in\mathbb{N}_0$ $x\in\left[-2,-1\vpravo)$

(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1 +x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).

Od kdy je spokojen , tak . $x\in\left[-2,-1\vpravo)$ $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ $(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$

Poznámky

↑ 1 2 Bronstein, Semenďajev, 1985 , str. 212.

Literatura

Bronshtein IN , Semendyaev KA Příručka matematiky pro inženýry a studenty středních škol . - ed. 13. - M. : Nauka, 1985. - 544 s.