Kolmogorovova nerovnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. března 2015; kontroly vyžadují 15 úprav .

Kolmogorovova nerovnost je zobecněním pravděpodobnostní verze Čebyševovy nerovnosti , která omezuje pravděpodobnost, že částečný součet konečné množiny nezávislých náhodných veličin nepřesáhne nějaké pevné číslo. Založil Andrej Kolmogorov v polovině 20. let 20. století a použil jej k prokázání silného zákona velkých čísel .

Formulace [1] : pro nezávislé náhodné proměnné definované na společném pravděpodobnostním prostoru s matematickými očekáváními a rozptyly a libovolnou proměnnou platí následující: $(\Omega ,\ F,\ Pr)$ $X_{1},\tečky ,X_{n}\ :\Omega \to R$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$ $Var[X_{i}]<+\infty$ $\lambda >0$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2))} \operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2))}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{i} ]

(jeden)

kde . ${\displaystyle S_{k}=X_{1}+\tečky +X_{k))$

Pokud navíc $\Pr(|X_{i}|\leqslant c)=1,i\leqslant n$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2 }}{\operatorname {Var} [S_{n}]}}

(2)

Důkaz

Označit

{\displaystyle A=\{\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \))

A_{k}=\{|S_{i}|<\lambda ,i=1,...,k-1,|S_{k}|\geqslant \lambda \},1\leqslant k\ leqslant n

Pak a ${\displaystyle A=\sum A_{k))$

MS_{n}^{2}\geqslant MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k=1}^{n}{MS_{n}^{2}I_{A_ {k}}}

(Kde je indikátor )

já

Ale

MS_{n}^{2}I_{A_{k}}=M\left(S_{k}+\left(X_{k+1}+...+X_{n}\vpravo)\ správně)^{2}I_{A_{k}}=

=MS_{k}^{2}I_{A_{k))+2MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k }}+M\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)^{2}I_{A_{k}}\geqslant MS_{k}^{2}I_{A_{ k}},

od , na základě předpokládané nezávislosti a podmínek Proto $MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k}}=MS_{k}I_{A_{k}}M\left (X_{k+1}+...+X_{n}\vpravo)=0$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$

\sum _{k=1}^{n}Var[X_{i}]=MS_{n}^{2}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{n}^ {2}I_{A_{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{k}^{2}I_{A_{k}}\geqslant \lambda ^{2}\sum _ {k=1}^{n}MI_{A_{k}}=\lambda ^{2}\sum _{k=1}^{n}\Pr(A_{k})=\lambda ^{2} Pr(A)

což dokazuje nerovnost 1 .

Abyste dokázali nerovnost 2 , poznamenejte si to

MS_{n}^{2}I_{A}=MS_{n}^{2}-MS_{n}^{2}I_{\bar {A}}\geqslant MS_{n}^{2 }-\lambda ^{2}Pr({\bar {A)))=MS_{n}^{2}-\lambda ^{2}+\lambda ^{2}Pr(A)

(3)

Na druhou stranu na place $A_k$

|S_{k-1}|\leqslant \lambda ,|S_{k}|\leqslant |S_{k-1}|+|X_{k}|\leqslant \lambda +c

a proto,

MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k}MS_{k}^{2}I_{A_{k))+\sum _{k}M(I_{A_{ k}}(S_{n}-S_{k})^{2})\leqslant (\lambda +c)^{2}\sum _{k}Pr(A_{k})+\součet _{k =1}^{n}Pr(A_{k})\součet _{j=k+1}^{n}MX_{j}^{2}\leqslant

\leqslant \Pr(A)\left[(\lambda +c)^{2}+\sum _{j=1}^{n}MX_{j}^{2}\right]=Pr( A)\left[(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}\right]

(čtyři)

Z (3) a (4) zjistíme, že:

Pr(A)\geqslant {\frac {MS_{n}^{2}+\lambda ^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}- \lambda ^{2))}=1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}-\lambda ^ {2}}}\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{MS_{n}^{2}}}=1-{\frac {(\lambda +c)^{ 2}}{\operatorname {Var} [S_{n}]}}

Poznámky

↑ Henneken, 1974 , str. třicet.

Literatura

Billingsley, Patrick. Pravděpodobnost a míra (neopr.) . New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1995. - ISBN 0-471-00710-2 . (Věta 22.4)
Feller, William . Úvoddo teorie pravděpodobnosti a její aplikace, svazek 1 . - Třetí edice. New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1968. - P. xviii + 509. — ISBN 0-471-25708-7 .
Henneken P. L., Tortra A. Teorie pravděpodobnosti a některé její aplikace. — M .: Nauka, 1974. — 472 s.
Shiryaev A. N. Pravděpodobnost. - 3. vyd., revidováno. a další .. - M . : MTSNMO , 2004. (Kapitola 4 § 2 odst. 1)