Kolmogorovova nerovnost
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 8. března 2015; kontroly vyžadují
15 úprav .
Kolmogorovova nerovnost je zobecněním pravděpodobnostní verze Čebyševovy nerovnosti , která omezuje pravděpodobnost, že částečný součet konečné množiny nezávislých náhodných veličin nepřesáhne nějaké pevné číslo. Založil Andrej Kolmogorov v polovině 20. let 20. století a použil jej k prokázání silného zákona velkých čísel .
Formulace [1] : pro nezávislé náhodné proměnné definované na společném pravděpodobnostním prostoru s matematickými očekáváními a rozptyly a libovolnou proměnnou platí následující:
![{\displaystyle (\Omega ,\ F,\ Pr)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a891d7e1abfbce6be22305982d0aa3f04c0c7754)
![{\displaystyle Var[X_{i}]<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a571bbc24574c668eb53bc88afd03cca950aeef1)
![{\displaystyle \lambda >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de)
|
(jeden)
|
kde .
![{\displaystyle S_{k}=X_{1}+\tečky +X_{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3122c6acaaf855b1863a810ed88ad08fe1de4ed3)
Pokud
navíc![{\displaystyle \Pr(|X_{i}|\leqslant c)=1,i\leqslant n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9c160b236c5b5a3250bb051c791d3b4ff17876)
|
(2)
|
Důkaz
Označit
Pak a
![{\displaystyle A=\sum A_{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7298c5456a8eaa477da5f2ded3ea33b23b96ef5f)
![{\displaystyle MS_{n}^{2}\geqslant MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k=1}^{n}{MS_{n}^{2}I_{A_ {k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d240171fbe826aa213d1dd34a68342ab66e7d985)
(Kde je
indikátor )
Ale
od , na základě předpokládané nezávislosti a podmínek
Proto
![{\displaystyle MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k}}=MS_{k}I_{A_{k}}M\left (X_{k+1}+...+X_{n}\vpravo)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac223e36eb38605b9a24b4044e25445413c18d23)
![{\displaystyle MX_{i}=0,i\leqslant n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa1b40f06a5ea7a68796f1632cf20717b9db08c)
což dokazuje nerovnost 1 .
Abyste dokázali nerovnost 2 , poznamenejte si to
|
(3)
|
Na druhou stranu na place
a proto,
|
(čtyři)
|
Z (3) a (4) zjistíme, že:
Poznámky
- ↑ Henneken, 1974 , str. třicet.
Literatura
- Billingsley, Patrick. Pravděpodobnost a míra (neopr.) . New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1995. - ISBN 0-471-00710-2 . (Věta 22.4)
- Feller, William . Úvoddo teorie pravděpodobnosti a její aplikace, svazek 1 . - Třetí edice. New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1968. - P. xviii + 509. — ISBN 0-471-25708-7 .
- Henneken P. L., Tortra A. Teorie pravděpodobnosti a některé její aplikace. — M .: Nauka, 1974. — 472 s.
- Shiryaev A. N. Pravděpodobnost. - 3. vyd., revidováno. a další .. - M . : MTSNMO , 2004. (Kapitola 4 § 2 odst. 1)