Inverzní věta

Inverzní věta nebo inverzní výrok k dané větě je výrok, ve kterém je podmínka původní věty (přímého výroku) dána závěrem a závěr je podmínkou. [jeden]

Opačná k obrácené větě je původní (přímá) věta. Platnost obou vzájemně inverzních vět znamená, že pro platnost závěru je nutné a postačující splnění podmínek kterékoli z nich. [jeden]

Každá věta může být vyjádřena ve formě implikace , ve které je předpokladem podmínka věty a důsledkem je závěr věty. Potom je věta zapsaná ve tvaru inverzní k ní [2] . $A\Šipka doprava B$ $A$ $B$ $B\Rightarrow A$

Často se používá obecnější definice inverzní věty: jedná-li se o přímou větu, pak se nejen věta nazývá inverzní , ale také věty , [3] . $(A\land C)\Rightarrow B$ $B\Rightarrow (A\land C)$ $(B\land A)\Rightarrow C$ $(B\land C)\Rightarrow A$

Jsou-li podmínkou a/nebo závěrem věty komplexní soudy, pak inverzní věta připouští množinu formulací, které nejsou navzájem ekvivalentní. Pokud je například podmínka věty , a závěr je : , pak existuje pět forem inverzní věty: [4] $A$ $Y\Rightarrow Z$ $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$

$(Y\Rightarrow Z)\Rightarrow A$
$(A\Rightarrow Z)\Rightarrow Y$
$Z\Rightarrow (A\And Y)$
$A\Rightarrow (Z\Rightarrow Y)$
$Y\Rightarrow (Z\Rightarrow A)$

Obecně řečeno, obrácená věta nemusí být pravdivá, i když je pravdivá přímá věta. Je tedy známo, že teorém „vertikální úhly jsou stejné“ (jinými slovy: „jsou-li úhly vertikální, pak jsou stejné“) je pravdivý. Ale tvrzení opačné k tomu "jsou-li úhly stejné, pak jsou vertikální", obecně řečeno, není pravdivé.

I když je opak pravdou, pak jeho důkaz může být mnohem obtížnější než důkaz přímého. Například věta o čtyřech vrcholech byla prokázána v roce 1912 a její inverzní až v roce 1998.

Vlastnosti

Přímá věta je ekvivalentní větě opačné : $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
Inverzní věta je ekvivalentní opačné přímce: [5] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Příklady

Pythagorova věta může být formulována takto:

Pokud v trojúhelníku se stranami délky , a úhel naproti straně je pravý, pak . $A$ $b$ $C$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Inverzní k této větě se objevuje v Euklidových prvcích (kniha I, tvrzení 48) a lze ji vyjádřit takto:

Pokud v trojúhelníku se stranami délky , a , pak úhel protilehlý ke straně je pravý. $A$ $b$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $C$

Abelův teorém a Abel-Tauberův teorém
Věty o vrcholech subdermálního trojúhelníku
Přímá a inverzní limitní věta
V jiném smyslu: Shannonovy teorémy pro obecný zdroj

Viz také

Opačná věta

Poznámky

↑ 1 2 Inverzní věta // Mathematical Encyclopedic Dictionary / ed. Prokhorova Yu. V. - M., Sovětská encyklopedie , 1988. - str. 423
↑ Edelman, 1975 , str. 32.
↑ Gindikin, 1972 , str. 19.
↑ Gradstein, 1965 , str. 92.
↑ Edelman, 1975 , str. 33.

Literatura

Edelman S.L. Matematická logika. - M . : Vyšší škola, 1975. - 176 s.
Gindikin S.G. Algebra logiky v úlohách. - M. : Nauka, 1972. - 288 s.
Gradshtein I.S. Přímé a inverzní věty. Prvky algebry logiky. - M .: Nauka, 1965. - 127 s.