Antoinův náhrdelník

Antoinův náhrdelník ( Antoineova množina [1] ) je příkladem podmnožiny euklidovského prostoru , který je homeomorfní ke Cantorově množině , ale nemá jednoduše připojený doplněk.

Postaven Louisem Antoinem v roce 1921 [2] .

Konstrukce

Náhrdelník je získán jako průsečík klesající sekvence kompaktních sad:

K_1\supset K_2\supset\tečky

takové, že každý je sjednocením konečného počtu disjunktních pevných tori . $K_n$

Pokud maximální průměr pevného torusu v inklinuje k nule v , pak průsečík: $K_n$ $n\to\infty$

K=\bigcap_n K_n

je kompaktní , zcela odpojená množina bez izolovaných bodů, a proto je homeomorfní množině Cantor .

Na druhou stranu můžete zvolit sekvenci tak, aby doplněk k získanému nebyl jednoduše spojen, k tomu musí průsečík s každým pevným torusem tvořit uzavřený řetězec, jako na obrázku. $K_n$ $K$ $K_{n+1}$ $K_n$

Viz také

Poznámky

↑ Boltyansky V.G. , Efremovič V.A. Vizuální topologie. — M .: Nauka, 1982. — 160 s. - ( Knihovna "Quantum" ).
↑ Antoine, Louis (1921), "Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages", Journal Math Pures et appl. 4:221-325