Obvody Villarceau

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. března 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Villarceauovy kružnice – pojmenované po francouzském astronomovi a matematikovi Yvonu Villarceauovi (1813-1883) – jsou dvojice kružnic získaných řezáním torusu rotace s "diagonální" tečnou rovinou procházející středem torusu. Díky symetrii torusu se tato rovina dotýká povrchu torusu dvakrát, to znamená, že je bitangentní.

Rodiny rovnoběžek, poledníků a dvě rodiny Villarceauových kruhů dohromady tvoří čtyři párové příčné rodiny kruhů na toru. [1] Konformní obrazy toru revoluce, Dupinovy cyklidy , mají stejnou vlastnost – mít čtyři párové příčné rodiny kruhů .

Vzorec a důkaz existence

Nechť dvě protínající se kružnice o poloměru jsou dány vzorci $R,(r<R)$

$(x+r)^{2}+y^{2}-R^{2}=0,$

$(xr)^{2}+y^{2}-R^{2}=0.$

Součin těchto dvou rovnic lze zredukovat do tvaru

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

Tato rovnice čtvrtého řádu definuje dva protínající se kruhy a je zjevně vzorcem torické sekce . V průsečících kružnic se protínají křivky, které patří současně k rovině řezu a povrchu torusu. Proto se v těchto bodech rovina řezu dotýká povrchu torusu.

Literatura

Yvon Villarceau, Antoine Joseph François . Théorème sur le tore (francouzsky) // Nouvelles Annales de Mathématiques :časopis. - Paříž: Gauthier-Villars, 1848. - Sv. 7 Série 1 . - str. 345-347 .
Coxeter, HSM Úvod do geometrie (neurčité) . — 2/e. - Wiley, 1969. - S. 132-133 . — ISBN 978-0-471-50458-0 .

Viz také

Poznámky

↑ Komentář k matematickému filmu "Dimensions" ke kapitolám 7 a 8 Archivováno 29. září 2009 na Wayback Machine .

Obvody Villarceau

Vzorec a důkaz existence

Literatura

Viz také

Poznámky

Odkazy