Komplexní diferenciální forma

Komplexní diferenciální forma je diferenciální forma s komplexními koeficienty, obvykle uvažovaná na komplexních varietách .

Definice

Předpokládejme, že M je komplexní varieta komplexní dimenze n . Pak existuje lokální souřadnicový systém , sestávající z n komplexních funkcí z 1 ,...,z n , takže přechody souřadnic z jednoho úseku do druhého jsou holomorfními funkcemi těchto proměnných. Prostor komplexních forem má bohatou strukturu, která závisí především na skutečnosti, že tyto přechodové funkce jsou holomorfní a nejen hladké .

Jednoformulář

Začneme případem 1-formy. Rozložme komplexní souřadnice na jejich reálné a imaginární části: z j = x j + iy j pro každé j . Položme

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z))^{j}=dx^{j}-idy^{j}.

To ukazuje, že jakýkoli diferenciální 1-forma s komplexními koeficienty může být jednoznačně zapsána jako součet

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

Nechť Ω 1,0 je prostor komplexních diferenciálních forem obsahujících pouze s a Ω 0,1 je prostor forem obsahujících pouze . Cauchy-Riemannovy podmínky dávají, že prostory Ω 1,0 a Ω 0,1 jsou stabilní při holomorfních změnách souřadnic. To znamená, že pro ostatní souřadnice w i jsou prvky Ω 1,0 transformovány tenzoricky , stejně jako prvky Ω 0,1 . Prostory Ω 0,1 a Ω 1,0 tedy definují komplexní vektorové svazky na komplexní varietě. $dz$ $d{\bar {z))$

Vyšší stupně

Vnější produkt komplexních diferenciálních forem je definován stejným způsobem jako u skutečných forem. Nechť p a q jsou dvojice nezáporných celých čísel ≤ n . Prostor Ω p,q ( p , q )-formy je definován převzetím lineárních kombinací klínových součinů p prvků z Ω 1,0 a q prvků z Ω 0,1 . Stejně jako v případě 1-forem jsou stabilní při holomorfních změnách souřadnic, a proto definují vektorové svazky.

Je-li E k prostorem všech komplexních diferenciálních forem plného stupně k , pak každý prvek E k lze vyjádřit jedinečným způsobem jako lineární kombinaci prvků z prostorů Ω p, q s p + q = k . To znamená, že dochází k přímé expanzi součtu

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^ {0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

Protože tento přímý součtový rozklad je stabilní při holomorfních změnách souřadnic, definuje také rozklad vektorových svazků.

Konkrétně pro každé k a každé p a q s p + q = k existuje kanonická projekce vektorových svazků

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

Operátory Dolbeault

Obvyklá vnější derivace určuje zobrazení řezů . Pomocí d a projekcí definovaných v předchozí podsekci lze definovat operátory Dolbeault : $d:E^{r}\to E^{r+1}$

\partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial } }=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}

Popišme tyto operátory v lokálních souřadnicích. Nechat

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}

kde I a J jsou multi-indexy . Pak

\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\součet _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ)){\partial z^{\ell ))}\ ,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

všimněte si, že

d=\partial +{\bar {\partial ))

\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.

Tyto operátory a jejich vlastnosti se používají v definici Dolbeaultovy cohomologie a dalších aspektů Hodgeovy teorie .

Holomorfní formy

Pro každé p je holomorfní p -forma holomorfním úsekem svazku Ω p,0 . V lokálních souřadnicích tedy lze holomorfní p -formu zapsat jako

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

kde jsou holomorfní funkce. Ekvivalentně a díky nezávislosti komplexního konjugátu je ( p , 0)-forma α holomorfní právě tehdy, když ${\displaystyle f_{I))$

{\bar {\partial }}\alpha =0.

Svazek holomorfních p -forem se často píše Ω p , i když to může někdy vést ke zmatku, takže mnoho autorů má tendenci používat jiné zápisy.

Viz také

Abelovský diferenciál

Literatura

Griffiths F., Harris J. Principy algebraické geometrie: Per. z angličtiny. - M .: Mir, 1982.