Druhý kvadratický tvar

Druhá kvadratická forma (nebo druhá základní forma ) plochy je kvadratická forma na tečném svazku plochy, která na rozdíl od první kvadratické formy definuje vnější geometrii plochy v okolí daného bodu. .

Druhá kvadratická forma je často označována a její součásti jsou tradičně označovány a . $\mathrm{I\!I}$ $L$ $M$ $N$

Znalost první a druhé kvadratické formy je dostatečná pro výpočet hlavních křivostí , středních a Gaussových křivostí povrchu.

Definice

Nechť povrch v trojrozměrném euklidovském prostoru se skalárním součinem je dán rovnicí kde a jsou vnitřní souřadnice na povrchu; je rozdíl vektoru poloměru podél zvoleného směru posunutí z bodu do nekonečně blízkého bodu ; je normálový vektor k povrchu v bodě . Pak má tvar druhá kvadratická forma $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $proti$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $n$ $M$

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

kde koeficienty jsou určeny vzorcem:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac { (r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2))))),

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

kde označuje smíšený součin vektorů a jsou koeficienty první kvadratické formy povrchu. $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$

Související definice

Operátor tvaru neboli Weingartenův operátor je lineární operátor na tečné rovině definované jako $S$ $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

kde je pole jednotkových normál k povrchu. Operátor formuláře souvisí s druhou kvadratickou formou následujícím vztahem:

\nu

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Vlastní hodnoty operátoru tvaru se nazývají hlavní zakřivení povrchu v bodě a vlastní směry operátoru tvaru se nazývají hlavní směry povrchu v bodě.
- Křivky na povrchu, které probíhají v hlavních směrech, se nazývají čáry křivosti .

Normální zakřivení ve směru se vypočítá podle vzorce ${\displaystyle k_{V))$ $PROTI$ ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)))=\langle S(V),V\rangle / |V|^{2}$

kde je první kvadratická forma .

\mathrm {I}

Směr s nulovou normálovou křivostí se nazývá asymptotický a křivka na povrchu jdoucí v asymptotickém směru se nazývá asymptotická křivka .

Výpočet

Graf funkcí

V konkrétním případě, kdy je povrch grafem funkce v trojrozměrném euklidovském prostoru s koeficienty , mají koeficienty druhého kvadratického tvaru tvar: $z=f(x,y)$ $x, y, z$

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac { f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt { 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Variace a zobecnění

Hyperpovrchy

Uvažujme hyperplochu v m - rozměrném euklidovském prostoru s vnitřním součinem . Dovolit být místní mapa povrchu v bodě . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $P$

Potom se podle vzorce vypočítají koeficienty druhého kvadratického tvaru

q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r)){\partial u^{i}\partial u^{j))}{ \biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,

kde označuje jednotkový normální vektor. $n$

Velký kodimenze

Druhá základní forma je také definována pro pododrůdy libovolného rozměru. [jeden]

\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },

kde označuje projekci kovariantní derivace do normálního prostoru. ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot ))$ $\nabla _{v}w$

V tomto případě je druhou základní formou bilineární forma na tečném prostoru s hodnotami v normálním prostoru.

Pro podvariety euklidovského prostoru lze tenzor křivosti podvariet vypočítat pomocí takzvaného Gaussova vzorce:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} ( v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Pro submanifoldy Riemannovy manifoldy je třeba přidat zakřivení okolního prostoru; je-li rozdělovač zapuštěn v Riemannově rozdělovači , pak tenzor křivosti rozdělovače vybaveného indukovanou metrikou je dán druhým základním tvarem a tenzorem křivosti okolního rozdělovače : $N$ $(M,g)$ $R_{N}$ $N$ ${\displaystyle R_{M))$ $M$

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I } (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm { I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Viz také

Poznámky

↑ c. 128 v M. do Carmo, Riemannovská geometrie , Birkhäuser, 1992

Literatura

Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Kurz diferenciální geometrie a topologie. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .

Toponogov V.A. Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A. V. Černavského . Přednášky z klasické diferenciální geometrie (2 kurzy)