Optická věta

Optická věta je vztah ve vlnové teorii rozptylu, který souvisí s amplitudou rozptylu a průřezem rozptylu . $f(\theta )$ $\sigma$

Optická věta je formulována takto:

\sigma ={\frac {4\pi }{k}}\operatorname {Im} f(0),

kde je dopředná amplituda rozptylu, je celkový průřez rozptylu a je vlnový vektor dopadající vlny. Vzhledem k tomu, že věta je důsledkem zákona zachování energie (pravděpodobnost v kvantové mechanice), jde o poměrně obecné tvrzení s širokým spektrem aplikací. $f(0)$ $\sigma$ $k$

Obecnější forma věty:

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\omega ''.

Důkaz

Asymptotická forma amplitudy rozptylu na velké vzdálenosti:

\psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},

kde je směr dopadu částic a je směr rozptylu. $\mathbf n$ $\mathbf {n} '$

Jakákoli lineární kombinace funkcí s různými směry dopadu také představuje určitý možný rozptylový proces. Vynásobením libovolnými koeficienty a integrací přes všechny směry získáme takovou lineární kombinaci ve formě integrálu $\psi$ $\psi$ $F(\mathbf {n} )$ $\mathbf n$

\int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r }}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .

Protože vzdálenost je velká, faktor v prvním integrálu je rychle oscilující funkcí směru proměnného vektoru . Hodnota integrálu je tedy určena především oblastmi blízkými těm hodnotám, ve kterých má exponent extrém ( ). V každé z těchto oblastí může být faktor vyjmut z integrálního znaménka, po kterém integrace dává $r$ ${\displaystyle e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')))$ $\mathbf n$ $\mathbf n$ $\mathbf {n} \pm \mathbf {n} '$ $F(\mathbf {n} )\cca F(\pm \mathbf {n} ')$

2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^ {ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\, d\Omega .

Přepišme tento výraz do kompaktnější podoby a vynecháme společný faktor : $2\pi i/k$

{\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}} F(\mathbf {n} '),

kde

{\klobouček {S}}=1+2ik{\klobouček {f)),

a je integrální operátor: ${\hat {f))$

{\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F (\mathbf {n} )\,d\Omega .

První člen vlnové funkce popisuje vlnu sbíhající se směrem ke středu a druhý popisuje vlnu rozbíhající se ze středu. Zachování počtu částic v elastickém rozptylu je vyjádřeno rovností celkových toků částic v konvergujících a divergujících vlnách. Jinými slovy, tyto vlny musí mít stejnou normalizaci. K tomu musí být operátor rozptylu unitární , tj. ${\klobouček {S))$

{\klobouček {S}}{\klobouček {S}}^{+}={\klobouček {1)),

nebo (s přihlédnutím k výrazu pro ): ${\klobouček {S))$

{\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.

Nakonec, vezmeme-li v úvahu definici , získáme tvrzení věty: ${\hat {f))$

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 .