Singulární bod (diferenciální rovnice)

V matematice je singulární bod vektorového pole bod, ve kterém je vektorové pole rovno nule. Singulární bod vektorového pole je rovnovážná poloha nebo klidový bod dynamického systému definovaného daným vektorovým polem: fázová trajektorie s počátkem v singulárním bodě se skládá právě z tohoto singulárního bodu a integrální křivka, která mu odpovídá, je přímka rovnoběžná s časovou osou.

V jakémkoli malém okolí fázového prostoru, které neobsahuje singulární body, lze vhodnou změnou souřadnic narovnat vektorové pole - chování systému mimo singulární body je tedy stejné a velmi jednoduché. Naopak v okolí singulárního bodu může mít systém velmi složitou dynamiku. Hovoříme-li o vlastnostech singulárních bodů vektorových polí, obvykle se myslí vlastnosti odpovídajícího systému v malém okolí singulárního bodu.

Singulární body vektorových polí v rovině

Nejjednodušší příklady singulárních bodů jsou singulární body lineárních vektorových polí v rovině. S konceptem vektorového pole v rovině lze spojit lineární systém diferenciálních rovnic ve tvaru:

,

kde  je bod v rovině,  je matice . Je zřejmé, že bod v případě nesingulární matice je jediným singulárním bodem takové rovnice.

V závislosti na vlastních hodnotách matice existují čtyři typy nedegenerovaných singulárních bodů lineárních systémů: uzel, sedlo, ohnisko, střed.

Viz také

• Poincarého věta o vektorovém poli