Poincarého věta o vektorovém poli

Poincaré teorém vektorového pole (také známý jako Poincaré-Hopf teorém a teorém indexu ) je klasický teorém v diferenciální topologii a teorii dynamických systémů ; zobecnění a zpřesnění věty o česání ježka .

Z toho zejména vyplývá, že hladké vektorové pole bez singulárních bodů neexistuje na dvourozměrné kouli, ale může existovat na dvourozměrném torusu .

Formulace

Nechť je hladké vektorové pole definováno na hladké uzavřené varietě , která má konečný počet izolovaných singulárních bodů . Pak $M$ $PROTI$ $A_{1},A_{2},\tečky ,A_{n}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),

zde je index bodu vzhledem k poli a číslo je Eulerova charakteristika manifoldu . $J_{{A_{i}}}(V)$ $A_{i}$ $PROTI$ $\chi (M)$ $M$

Pro případ dvourozměrných variet byla věta prokázána Poincaré v roce 1885. Pro manifoldy libovolného rozměru výsledek získal Hopf v roce 1926 [1] .

Podobné věty byly prokázány pro vektorová pole s neizolovanými singulárními body a pro variety se singularitami [2] [3] .

↑ Dvourozměrnou verzi této věty dokázal Poincaré v roce 1885. Úplnou větu dokázal Hopf v roce 1926 po dílčích výsledcích Brouwera a Hadamarda . // Milnor J., Wallace A. Diferenciální topologie. Počáteční kurz. M: Mir, 1972 (s. 223).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa . Vektorová pole na singulárních odrůdách archivována 12. června 2018 na Wayback Machine . Springer, 2009.
↑ Pavao Mardesic . Index singularit skutečných vektorových polí na singulárních hyperpovrchech Archivováno 18. června 2022 na Wayback Machine . Journal of the Singularities , sv. 9 (2014), 111-121.