Speciální řešení

Speciální řešení obyčejné diferenciální rovnice je pojem v teorii obyčejných diferenciálních rovnic, nejčastěji spojovaný s rovnicemi, které nejsou vyřešeny s ohledem na derivaci. Existuje několik definic speciálních řešení, které nejsou vždy navzájem ekvivalentní. Jedna z nejběžněji používaných definic dnes je následující.

Definice

Zvažte rovnici

F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)

kde je funkce -smooth v nějaké doméně . Řešení se nazývá speciální řešení rovnice (1), jestliže každý bod jemu odpovídající integrální křivky je bodem lokální nejednoznačnosti řešení Cauchyho úlohy s počáteční podmínkou. $F(x,y,p)$ $C^1$ ${\displaystyle G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)))$ $y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,$ $(x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,$

y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})

Jinými slovy, v každém bodě se konkrétní řešení dotýká jiného řešení, které se s ním neshoduje shodně v žádném libovolně malém okolí tohoto bodu [1] . $(x,y)$

Vlastnosti

Speciálním řešením (přesněji jeho grafem) je obálka rodiny integrálních křivek rovnice (1).

Diskriminační křivka rovnice (1) je množina (například křivka nebo soubor křivek, ale může to být i bod nebo prázdná množina) v rovině proměnných dané rovnicemi . Speciální řešení rovnice (1), pokud existuje, je vždy obsaženo v diskriminační křivce této rovnice. [2] Diskriminační křivka se může skládat z několika křivek s různými vlastnostmi, některé z nich mohou být grafy speciálních řešení a některé ne. Opak není pravdou: diskriminační křivka nemusí být nutně řešením rovnice (a pokud ano, pak nemusí být nutně speciální) [2] . $(x,y)$ $F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0$

Z výše uvedeného vyplývá, že abyste prakticky našli speciální řešení rovnice konkrétní rovnice, musíte nejprve najít její diskriminační křivku a poté zkontrolovat, zda je (každá z jejích větví, je-li jich několik) speciálním řešením rovnice (1), nebo ne [2] .

Příklady

1. Diskriminační křivka Cibrarioovy rovnice - souřadnicová osa - není řešením, ale místem vrcholových bodů jejích integrálních křivek. $(y')^{2}=x$ $x=0$

2. Diskriminační křivka rovnice - souřadnicová osa - je řešením této rovnice, ale její graf se neprotíná s žádnými dalšími integrálními křivkami této rovnice, takže toto řešení není speciální. $(y')^{2}-y^{2}=0$ $y=0$

3. Jednoduchými příklady diferenciálních rovnic se speciálními řešeními jsou Clairautova rovnice a rovnice , jejichž nesingulární řešení jsou dána vzorcem s integrační konstantou a speciální řešení má tvar . $(y')^{2}=y$ $y={\frac {1}{4}}(xc)^{2}$ $C$ $y=0$

4. Diskriminační křivka rovnice se skládá ze dvou neprotínajících se větví: a . Obě jsou řešením této rovnice. První z nich je však speciální řešení, zatímco druhé nikoli: v každém bodě přímky se dotýká nějaké jiné integrální křivky této rovnice a integrální křivky se k přímce přibližují pouze asymptoticky jako [3] . $(y')^{2}=4y^{3}(1-y)$ $y=1$ $y=0$ $y=1$ $y=0$ $x\to \infty$

Poznámky

↑ Filippov A. F. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. — M.: URSS, 2007, kap. 2, odstavec 8, strana 62.
↑ 1 2 3 Filippov A. F. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. — M.: URSS, 2007, kap. 2, odstavec 8.
↑ Filippov A. F. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. — M.: URSS, 2007, kap. 2, odstavec 8, příklad 5.

Literatura

Arnold VI Doplňkové kapitoly teorie obyčejných diferenciálních rovnic. — M.: Nauka, 1978.
Arnold VI Geometrické metody v teorii obyčejných diferenciálních rovnic. - Iževsk: Nakladatelství státu Udmurt. un-ta, 2000.
Romanko VK Kurz diferenciálních rovnic a variačního počtu. — M.: Fizmatlit, 2001.
Filippov AF Úvod do teorie diferenciálních rovnic. — M.: URSS, 2004, 2007.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Úvod do teorie singularity . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .