Zener-Blochovy oscilace

Zener-Blochovy oscilace jsou oscilace částice pohybující se v periodickém potenciálu působením konstantní síly. Příkladem systému, ve kterém k takovým vibracím může docházet, je krystalická pevná látka. Ve skutečných krystalech je obtížné vytvořit podmínky pro pozorování Zener-Blochových oscilací, ale byly pozorovány v umělých systémech, například supermřížky .

Clarence Zener [1] uvažoval o takových oscilacích pro krystalové elektrony ve vnějším elektrickém poli. Felix Bloch zobecnil teorii na případ jakýchkoli částic a jakýchkoli sil.

Semiklasická úvaha

Pokud zanedbáme mezipásmové přechody elektronů za přítomnosti vnějšího elektrického pole , pak posun elektronu v k-prostoru je zcela určen druhým Newtonovým zákonem: $\mathbf {E}$

\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}

Kde je elementární náboj (v těchto zápisech je náboj elektronu roven C). Pokud nedojde ke srážkám, elektron projde celou první Brillouinovou zónou , odrazí se od své hranice, znovu překročí zónu a znovu se odrazí na hranici. V důsledku toho má takový pohyb elektronu v pásmu při působení konstantního elektrického pole charakter oscilací v -prostoru, potažmo v běžném prostoru. Tyto oscilace se nazývají Zenerovy oscilace (dílčí případ elektrického pole) a Blochovy oscilace (obecný případ potenciálního pole jakékoli povahy). $E$ ${\displaystyle -e=-1.6\cdot 10^{-19))$ $\mathbf {k}$

Nechť pole směřuje podél reciprokého mřížkového vektoru , který určuje polohu hranice Brillouinovy zóny, která odráží elektrony. Při jedné oscilaci urazí elektron vzdálenost . Jestliže , kde je mřížková konstanta, pak je cyklická frekvence rovna: $\mathbf {E}$ ${\mathbf {K}}$ $K$ $K={\frac {2\pi }{a}}$ $A$

\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}

Protože A pro pole V/m je frekvence přibližně Hz. Oscilace jsou prostorově omezené. V takové situaci poruchový potenciál modifikuje energetické hladiny v zóně. A stavy, jejichž energie se liší o hodnotu , mění energie podél okrajů zóny. Stejné energie vytvářejí tzv. Starkův žebřík, tak pojmenovaný, protože jeho výskyt připomíná Starkův jev v atomové fyzice. Je jasné, že amplituda prostorových oscilací je určena šířkou zóny : $a\approx \;3$ $2\cdot 10^{6}$ $10^{13}$ $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ $eEa$ $L_{z}$ ${\displaystyle W_{b))$

L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}

Protože existuje jeden stav na jednotkovou buňku, celkový počet oscilací zůstává stejný, ale intervaly mezi sousedními energetickými hladinami zůstávají konečné a identické.

Kvantová teorie [2]

Vlnová funkce elektronu v Zener-Blochově stavu se zjevně liší od postupné vlny, protože už to není dobré kvantové číslo. Vezmeme-li v úvahu aplikovaný potenciál jako poruchu, zjistíme: $\mathbf {k}$

{\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{ z}

\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{ k}(\mathbf {r} )

kde jsou funkce Blochova pásma, . Poruchová teorie dává $\psi _{k}(\mathbf {r} )$ ${\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$

c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf { r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}

Prvek matice se nejpohodlněji vypočítá s přihlédnutím

\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )

Přechod od sčítání k integraci pomocí vztahu $\mathbf {k}$

\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}

a integrací po částech pomocí vlastnosti ortogonality rovinných vln získáme:

\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}

kde najdeme deriváty

{\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}

jako

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d \mathbf {k} \right\rbrace

Aby byla vlnová funkce periodická, musí být funkce periodická. Pokud položíme $c_{k}$

W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),

kde je energie středu pásma, pak podmínka periodicity implikuje rovnost energií ${\displaystyle W_{k}=W_{0))$

W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),

kde je celé číslo a je vektor jednotkové buňky. Výsledkem je, že stav, kterému odpovídá vlastní číslo, je lokalizován v prostoru elementární buňky umístěné v bodě , odkud, za předpokladu , najdeme $n'$ ${\mathbf {a}}$ ${\displaystyle W_{z))$ $n'\mathbf {a}$ $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac { iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace

Blochovy vlnové funkce zde mají formu

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} ) \exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\vpravo\rbrace .

Nyní můžete použít jednoduchý model, který popisuje zónu ve směru pole : $\mathbf {E}$

W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka

-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a)),

kde je šířka zóny. Dále předpokládáme, že funkce . Pak ${\displaystyle W_{b))$ $u_{k}(\mathbf {r} )$ $\mathbf {k}$

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\součet _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \ vlevo\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =

=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a ,

kde je Besselova funkce, je celé číslo a pole je nasměrováno podél osy . V bodě se funkce chová jako stojatá vlna s vlnovým vektorem o velikosti , to znamená, že délka vlnového vektoru je rovna polovině vzdálenosti od středu Brillouinovy zóny k jejímu okraji. Když , asymptotická expanze dává $J_{n}(z)$ $n$ $X$ $x = x_0$ $J_{n}(z)$ $\pi /2a$ $|x_{0}-x|\gg \,a$

J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a }}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}- x|}}\vpravo)^{|x_{0}-x|/a}

kde je klasická amplituda prostorových oscilací a je základem přirozených logaritmů. Je jasné, že při , vlnová funkce velmi rychle zaniká. Klesá v , dosahuje maxima v bodě . Chování této vlnové funkce kvalitativně připomíná chování harmonického oscilátoru - roste na koncích segmentu, což odpovídá klasickým bodům obratu. Pro pozorování tohoto jevu je nutné splnit podmínky $L_{z}$ $e_{n}$ $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ $|x_{0}-x|\rightarrow 0$ $|x_{0}-x|=L_{z}/2$

\omega _{z}\tau >1,

kde je čas mezi kolizemi. Obvykle se časování provádí pro stavy blízko okrajů zóny. Typické hodnoty jsou cca . V důsledku toho se elektron, který většinu času provádí Zener-Blochovy oscilace, nachází poblíž okrajů pásma, a proto je rozumné vzít časový odhad přibližně . Pro tento účel je nutné vytvořit pole, která přesahují V/m. V mnoha případech může takto silné pole vést k poruše polovodiče. $\tau$ $\tau$ $\tau$ $10^{{-13}}$ $10^{{-13}}$ $2\cdot 10^{6}$

Poznámky pod čarou

↑ Clarence Zener. Teorie elektrického průrazu pevných dielektrik // Proc. Royi. soc. A .. - 1934. - T. 145 . - S. 523 - 529 . - doi : 10.1098/rspa.1934.0116 .
↑ Ridley B. Kvantové procesy v polovodičích / Per. z angličtiny. I. P. Zvjagin, A. G. Mironov. — M .: Mir, 1986. — 304 s.

Zener-Blochovy oscilace

Semiklasická úvaha

Kvantová teorie [2]

Poznámky pod čarou

Viz také