Cantorův paradox

Cantorův paradox je paradoxem teorie množin , který demonstruje, že předpoklad existence množiny všech množin vede k rozporům, a proto je teorie , v níž je konstrukce takové množiny možná, nekonzistentní.

Formulace

Předpokládejme, že množina všech množin existuje. V tomto případě platí , že každá množina je podmnožinou . Ale z toho vyplývá, že mohutnost žádné množiny nepřesahuje mohutnost . $V=\{x\mid x=x\}$ $\forall x\forall T(x\in T\šipka doprava x\in V)$ $T$ $PROTI$ $\forall T\;|T|\leqslant |V|$ $PROTI$

Ale na základě axiomu množiny všech podmnožin, pro , stejně jako každá množina, existuje množina všech podmnožin , a podle Cantorova teorému , což je v rozporu s předchozím tvrzením. Nemůže tedy existovat, což je v rozporu s „naivní“ hypotézou , že jakákoliv syntakticky správná logická podmínka definuje množinu, tedy takovou pro jakoukoli formuli neobsahující volno. $PROTI$ ${\mathcal {P}} (V)$ $|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ $PROTI$ $\existuje y\forall z(z\v y\leftrightarrow A)$ $A$ $y$

Jiné znění

Neexistuje žádné maximální kardinální číslo . Vskutku: ať existuje a rovná se . Pak podle Cantorovy věty . $\mu$ $2^{\mu }>\mu$

Závěry

Tento paradox, objevený Cantorem kolem roku 1899 , odhalil potřebu revidovat „naivní teorii množin“ ( Russelův paradox byl objeven o něco později, kolem roku 1901 ) a podnítil vývoj přísné axiomatiky teorie množin . Schéma axiomů bylo odmítnuto jako rozporuplné, místo toho byl vyvinut systém omezení typu podmínky dané vzorcem . $\existuje y\forall z(z\v y\leftrightarrow A)$ $A$

Cantorův paradox

Formulace

Jiné znění

Závěry

Viz také