Periodický stav

Periodický stav je stav Markovova řetězce, který řetězec navštěvuje pouze v časových intervalech, které jsou násobky pevného čísla.

Stavové období

Nechť je dán homogenní Markovův řetězec v diskrétním čase s maticí pravděpodobnosti přechodu . Konkrétně pro jakýkoli typ je matice maticí pravděpodobností přechodu na kroky. Uvažujme posloupnost . Číslo ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0))$ $P$ $n\in \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ $n$ $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)

kde označuje největšího společného dělitele , se nazývá stavová perioda . $\gcd$ $j$

Poznámka

Období stavu je tedy , jestliže z toho plyne , že je dělitelné . $j$ $d(j)$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $n$ $d(j)$

Periodické stavy a řetězce

Pokud , pak se stav nazývá periodický . Jestliže , pak se stav nazývá aperiodický . $d(j)>1$ $j$ $d(j)=1$ $j$

Období komunikujících stavů se shodují:

(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))

Perioda jakékoli nerozložitelné třídy Markovova řetězce je tedy definována a rovna periodě kteréhokoli z jejích zástupců. Podle toho se třídy dělí na periodické a aperiodické.

Pokud je Markovův řetězec nerozložitelný, pak se období všech jeho stavů shodují a jejich společná hodnota se nazývá období řetězce. Řetězec se nazývá periodický, pokud je jeho perioda větší než jedna, a jinak aperiodický.

Klasifikace stavů a Markovových řetězců
Stát	aperiodický vratné dosažitelný neodvolatelný bezvýznamný nula periodické pozitivní komunikující významný
Řetěz	aperiodický vratné neodvolatelný nerozložitelný nula časopis pozitivní rozložitelný ergodický