Mnohostěn je spojení mnohostěnů , které nemusí být nutně stejné dimenze . V geometrii je mnohostěn (množné číslo mnohostěnu) trojrozměrná postava s plochými polygonálními plochami, rovnými hranami a ostrými rohy nebo vrcholy. Slovo mnohostěn pochází z klasického řeckého πολεεδρον, jako poly- (kmen πολύς, „mnoho“) + -hedron (forma δδρα, „základna“ nebo „sídlo“). Konvexní mnohostěn je konvexní obal konečného počtu bodů, které nejsou všechny ve stejné rovině. Kostky a pyramidy jsou příklady konvexních mnohostěnů.
Mnohostěn je trojrozměrný příklad obecnějšího mnohostěnu v libovolném počtu rozměrů.
Rozklad mnohostěnu na simplice se nazývá simpliciální komplex .
Pojem polyhedron se používá v teorii simpliciální homologie .
Někdy se mnohostěn nazývá obyčejný mnohostěn dimenze 3.
Konvexní mnohostěny jsou dobře definované, s několika ekvivalentními standardními definicemi. Formální matematická definice mnohostěnů, které nemusí být konvexní, však byla problematická. Mnoho definic „mnohostěnu“ bylo uvedeno ve specifických kontextech, některé jsou přísnější než jiné, a neexistuje žádná univerzální shoda, kterou si vybrat. Některé z těchto definic vylučují tvary, které jsou často považovány za mnohostěny (jako jsou samo-protínající se mnohostěny), nebo zahrnují tvary, které často nejsou považovány za platné mnohostěny (například pevná tělesa, jejichž hranice nejsou rozmanité). Jak poznamenal Branko Grünbaum : "prvotní hřích v teorii mnohostěnů sahá až k Euklidovi a také prostřednictvím Keplera , Poinsota , Cauchyho a mnoha dalších. V každé fázi autoři nedokázali definovat, co mnohostěny jsou." [jeden]
Existuje však všeobecná shoda, že mnohostěn je tuhé těleso nebo povrch, který lze popsat svými vrcholy (rohovými body), hranami (úsečky spojující určité dvojice vrcholů), plochami (dvourozměrnými polygony) a někdy i svými třemi -rozměrný vnitřní objem. Je možné rozlišovat mezi těmito různými definicemi podle toho, zda popisují mnohostěn jako tuhé těleso, zda jej popisují jako povrch nebo jej popisují abstraktněji na základě jeho pádové geometrie.
Obvyklá a poněkud naivní definice mnohostěnu zní, že se jedná o tuhé těleso, jehož hranici může pokrýt konečný počet rovin, nebo že jde o tuhé těleso vzniklé spojením konečného počtu konvexních mnohostěnů. [2] Přirozená vylepšení této definice vyžadují, aby tuhé těleso bylo ohraničené, mělo propojený vnitřek a případně také připojené ohraničení. Plochy takového mnohostěnu mohou být definovány jako spojené komponenty částí hranice v každé z rovin, které ji pokrývají, a hrany a vrcholy jako úsečky a body, ve kterých se tyto plochy setkávají. Takto definované mnohostěny však nezahrnují samo se protínající hvězdicové mnohostěny, jejich plochy nemohou tvořit jednoduché mnohoúhelníky a některé hrany mohou patřit více než dvěma plochám. Běžné jsou také definice založené na myšlence ohraničující plochy spíše než tuhého tělesa. Například O'Rourke (1993) definuje mnohostěn jako sjednocení konvexních mnohoúhelníků (jeho ploch) umístěných v prostoru tak, že průsečík libovolných dvou mnohoúhelníků je společný vrchol nebo hrana nebo prázdná množina, a takové, že jejich sjednocení je potrubí. Pokud plochá část takového povrchu není sama o sobě konvexním mnohoúhelníkem, O'Rourke požaduje, aby byla rozdělena na menší konvexní mnohoúhelníky s plochými dihedrálními úhly mezi nimi. Poněkud obecněji Grünbaum definuje aoptický mnohostěn jako sbírku jednoduchých mnohoúhelníků tvořících vnořenou varietu, přičemž každý vrchol zasahuje alespoň do tří hran a každá ze dvou ploch se protíná pouze ve společných vrcholech a hranách každého z nich. [3] Cromwellovy polytopy poskytují podobnou definici, ale bez omezení tří hran na vrchol. Tento typ definice opět nepokrývá samo se protínající mnohostěny. Podobné koncepty jsou základem topologických definic mnohostěnů jako pododdělení topologické rozmanitosti na topologické disky (obličeje), jejichž párovými průsečíky musí být body (vrcholy), topologické oblouky (hrany) nebo prázdná množina. Existují však topologické mnohostěny (i se všemi plochami trojúhelníků), které nelze realizovat jako aoptické mnohostěny.
Jeden z moderních přístupů je založen na teorii abstraktních mnohostěnů. Lze je definovat jako částečně uspořádané množiny, jejichž prvky jsou vrcholy, hrany a plochy mnohostěnu. Vrchol nebo hrana je menší než hrana nebo plocha (v tomto částečném pořadí), když je vrchol nebo hrana součástí hrany nebo plochy. Je také možné zahrnout speciální spodní prvek tohoto dílčího řádu (představující prázdnou množinu) a horní prvek představující celý mnohostěn. Pokud části částečného pořadí mezi prvky rozmístěnými ve třech úrovních od sebe (tj. mezi každou plochou a spodním prvkem a mezi horním prvkem a každým vrcholem) mají stejnou strukturu jako abstraktní reprezentace mnohoúhelníku, pak tyto částečně uspořádané sady nesou přesně totéž informace jako topologický mnohostěn. Tyto požadavky jsou však často uvolněné a místo toho vyžadují pouze to, aby úseky mezi prvky ve dvou úrovních od sebe měly stejnou strukturu jako abstraktní reprezentace úsečky. To znamená, že každá hrana obsahuje dva vrcholy a patří dvěma plochám a že každý vrchol plochy patří dvěma hranám této plochy. Geometrické mnohostěny definované jinými způsoby lze takto abstraktně popsat, ale je také možné použít abstraktní mnohostěny jako základ pro definování geometrických mnohostěnů. Implementace abstraktního polytopu je obvykle chápána jako mapování vrcholů abstraktního polytopu na geometrické body, takže body každé plochy jsou koplanární.