Statistiky objednávek

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. března 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Ordinální statistika v matematické statistice je neklesajícím uspořádaným vzorkem rovnoměrně rozložených nezávislých náhodných veličin a jejich prvků, které zaujímají přesně definované místo v populaci v rozmezí.

Definice

Dovolit být konečný vzorek z rozdělení definovaného na nějakém pravděpodobnostním prostoru . Nechte a . Posloupnost přečíslujeme v neklesajícím pořadí, takže $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\omega \in \Omega$ $x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n))$

{\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)))

Tato sekvence se nazývá variační řada . Variační řada a její členy jsou statistiky objednávek. Náhodná veličina se nazývá statistika -tého řádu původního vzorku [1] . Statistika objednávek je základem neparametrických metod. ${\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)))$ $k$

Poznámky

Pochopitelně z definice:

$X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ;
$X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ .

Statistika objednávek absolutně kontinuální distribuce

Nechť je dán nezávislý výběr z absolutně spojitého rozdělení daného distribuční hustotou a distribuční funkcí . Pak má statistika objednávek také absolutně spojitá rozdělení a jejich hustoty rozdělení mají tvar [2] : $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $f_{X}$ $F_{X}$

f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1 }[1-F_{X}(x)]^{nk}f_{X}(x)

Náhodný vektor , kde má také absolutně spojité rozdělení a hustota společného rozdělení má tvar: $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }$ $1\leq j<k\leq n$

f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{( j-1)!(kj-1)!(nk)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X }(x_{j})]^{kj-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{nk}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k }),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.

Příklad

Nechť je vzorek ze standardního spojitého rovnoměrného rozdělení . Pak $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]$

$f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{ nk},\quad u\in [0,1]$ ,

tj . kde je distribuce beta ; $U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)$ $\mathrm {B}$

$f_{U_{(j)},U_{(k)))(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(kj-1) !(nk)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{kj-1}[1-u_{k}]^{nk},\quad j <k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1$ ;
$f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\ leq \cdots \leq u_{n}\leq 1$ .

Viz také

Poznámky

↑ Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988. - S. 847 .
↑ Důkaz archivován 27. února 2012 na Wayback Machine , str. 12, h. 1.18