Předobjednávka

Předobjednávka ( quasi-order ) je binární relace na množině , která má vlastnosti reflexivity a tranzitivity . Obvykle je tento vztah označen , pak axiomy předobjednávky na množině mají tvar: $\preccurlyeq$ $M$

\forall a\in M\colon a\preccurlyeq a

\forall a,b,c\in M\colon (a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)

Lineární předobjednávka je předobjednávka sady, pro kterou jsou libovolné dva prvky sady srovnatelné:

\forall a,b\in X\colon (a\preccurlyeq b)\lor (b\preccurlyeq a)

Teorie kategorií

Kategorie se nazývá předobjednávka , pokud existuje nanejvýš jeden morfismus pro jakékoli dva objekty . Pokud je malá kategorie , pak na množině jejích objektů lze nastavit vztah předobjednávky podle následujícího pravidla: ${\mathcal P}$ $a,b\in Ob{\mathcal {P}}$ $f\colon a\to b$ ${\mathcal P}$

a\preccurlyeq b\iff \exists f\colon a\to b

Z axiomů kategorie vyplývá, že takový vztah bude reflexivní a tranzitivní. Předobjednávka je abstraktní kategorie , to znamená, že v obecném případě ji nelze reprezentovat jako kategorii nějakých množin s danou strukturou a zobrazeními, která tuto strukturu zachovávají. Předobjednávka je také kategorie kostry .

Pokud je malá kategorie kompletní v malém , jedná se o předobjednávku a každá malá sada jejích prvků má největší spodní hranici. Součin množiny (množiny, třídy) objektů předobjednávky je pro tuto množinu největší dolní hranicí . Koproduktem množiny objektů je její nejmenší horní mez . Počáteční objekt v preorder , pokud existuje, je jeho nejmenší objekt, takže . Podobně je terminálový objekt předobjednávky největším objektem v ní. ${\mathcal C}$ $0$ ${\mathcal P}$ $\forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a$

Objekty kategorie předobjednávky (obvykle označované ) jsou předobjednávky (ve smyslu kategorií), zejména množiny, na které je dán vztah předobjednávky. Morfismy v této kategorii jsou nastavená zobrazení , která zachovávají relaci preorder, tedy monotónní zobrazení . Podkategorie malých předobjednávek je konkrétní kategorie obdařená zjevným univalentním zapomnětlivým funktorem : $\mathbf {Předobjednávka}$ $\mathbf {Předobjednávka} _{S}$

U\colon \mathbf {Předobjednávka} _{S}\to \mathbf {Set}

přiřazení každé malé předobjednávky množiny jejích objektů a každému morfismu monotónní mapu odpovídajících množin. Tento funktor vytváří limity v . Podobně je tedy počátečním objektem v prázdná množina , koncovým objektem je množina jednoho prvku, součin objektů je přímým součinem odpovídajících množin s porovnáním komponent po komponentě. $\mathbf {Předobjednávka}$ ${\mathbf {Sada}}$ $\mathbf {Předobjednávka}$

Literatura

Goldblatt R. Topoi. Kategorická analýza logiky = Topoi. Kategoriální analýza logiky / Per. z angličtiny. V. N. Grishin a V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
McLane S. Kapitola 1. Kategorie, funktory a přirozené transformace // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .