Značky rovnosti trojúhelníků (věta)

Testy rovnosti trojúhelníků jsou jedním ze základních teorémů geometrie.

Trojúhelník na euklidovské rovině může být jednoznačně (až do kongruence ) definován následujícími trojicemi základních prvků: [1]

$A$ , , (rovnost na dvou stranách a úhel mezi nimi); $b$ $\gamma$
$A$ , , (rovnost strany a dvou sousedních úhlů); $\beta$ $\gamma$
$A$ , , (rovnost na třech stranách). $b$ $C$

Pro pravoúhlé trojúhelníky existují funkce , z nichž některé jsou výjimečné:

podél nohy a přepony (to znamená, že v případě pravoúhlého trojúhelníku není nutné, aby známý úhel (totiž přímka) ležel mezi známými stranami);
na dvou nohách;
podél nohy a ostrého úhlu;
přepona a ostrý úhel.

Doplňkové znaménko: trojúhelníky jsou si rovny, pokud mají dvě strany a úhel opačný k větší z těchto stran [2] .

Ve sférické geometrii a v Lobačevského geometrii existuje znamení, že trojúhelníky jsou stejné ve třech úhlech.

Znak rovnosti na dvou stranách a úhel mezi nimi

Klasické důkazy ze školních osnov

Věta: Pokud se dvě strany a úhel mezi nimi v jednom trojúhelníku rovnají dvěma stranám a úhel mezi nimi uzavřený v jiném trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky stejné .

Dané: Prove: Důkaz: Překryjte s tak, aby bod padl na a strana se shodovala s . Pak, kvůli rovnosti těchto stran, se bod bude shodovat s a kvůli rovnosti úhlů a strana se bude shodovat s , a naopak díky rovnosti těchto stran bude bod shodný s , takže strana se bude shodovat s (protože dva body mohou být spojeny pouze jednou přímkou) . Potom se trojúhelníky shodují, což znamená, že jsou stejné. $AB=A_{1}B_{1},\quad AC=A_{1}C_{1},\quad \angle A=\angle A_{1}.$

$\triangle ABC=\triangle A1B1C1.$

$\Delta ABC$ ${\displaystyle \Delta A_{1}B_{1}C_{1))$ $A$ $A_{1}$ $AC$ $A_{1}C_{1}$ $C$ $C_{1},$ $A$ $A_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $B$ $B_1$ $CB$ $C_{1}B_{1}$

Poznámka

Požadavek, aby úhel ležel mezi stranami, je podstatný, protože pokud známý úhel naopak leží proti známé straně, pak další, neznámý úhel, který leží naproti zbytku známé strany, lze určit nejednoznačně pomocí sinusová věta : je-li sinus úhlu roven nějaké hodnotě, pak sinus sousedního je také.

Znak rovnosti na dvou úhlech a straně mezi nimi

Klasické důkazy ze školních osnov

Věta: pokud jsou dva úhly a k nim přilehlá strana jednoho trojúhelníku rovna dvěma úhlům a k nim přilehlá strana jiného trojúhelníku, pak se takové trojúhelníky rovnají .

Dáno: Prokázat: Důkaz: $BC=B_{1}C_{1},\quad \angle C=\úhel C_{1},\úhel B=\úhel B_{1}.$

$\triangle ABC=\triangle A1B1C1$

Poznámka

Na rozdíl od prvního kritéria lze 2. kritérium přeformulovat tak, že oba známé úhly nesousedí se známou stranou a díky větě o součtu úhlů zůstává kritérium rovnosti pravdivé.

Znak rovnosti na třech stranách

Poznámky

↑ Geometrie podle Kiselyova Archivováno 1. března 2021 na Wayback Machine , § 41.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 219.

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.

Viz také

Znaky podobnosti trojúhelníků