Primitivní polynom (algebra)

V algebře je primitivním polynomem jakýkoli polynom , kde je asociativní-komutativní kruh , s jednohodnotovou faktorizací, jejíž koeficienty nemají netriviální společné dělitele. $f(x)\in R[x]$ $R$

Libovolný polynom lze zapsat jako , kde je primitivní polynom a a je největší společný dělitel koeficientů polynomu . Prvek , je definován až po násobení invertibilními prvky z R, nazývá se obsah polynomu . $g(x)\in R[x]$ $g(x)=c_{g}\cdot f(x)$ $f(x)$ $c_{g}$ $g(x)$ $c_{g}\v R$ $g(x)$

Lemma Gauss

Pokud , tak . Zejména součin primitivních polynomů je opět primitivní. $g_{1}(x),g_{2}(x)\v R[x]$ $c_{{g_{1}g_{2}}}=c_{{g_{1}}}c_{{g_{2}}}$

Důkaz

Nejprve dokážeme, že součin primitivních polynomů je primitivní polynom. K tomu stačí ověřit, že pokud jednoduchý prvek kruhu dělí všechny koeficienty polynomu , pak je společným dělitelem všech koeficientů polynomu nebo společným dělitelem všech koeficientů polynomu . Nechť , , jsou stupně těchto polynomů. Udělejme indukci na . Pokud , pak a , . Jestliže se dělí , pak protože kruh je faktoriál, dělí nebo dělí , to znamená, že v tomto případě je tvrzení pravdivé. V obecném případě . Předpokládejme, že nějaký jednoduchý prvek kruhu rozdělí všechny koeficienty polynomu . Protože prsten je také faktoriál, pak nebo . Nechte pro jistotu . Jestliže , pak dělí všechny koeficienty polynomu . Jestliže , pak si všimněte, že to bude také společný dělitel všech koeficientů polynomu , kde . Všechny koeficienty polynomu jsou skutečně dělitelné , a tedy . Vydělí všechny koeficienty polynomu nebo všechny koeficienty polynomu indukční hypotézou . V prvním případě také vydělí všechny koeficienty polynomu . Principem matematické indukce je tvrzení prokázáno pro všechny hodnoty a $p$ $R$ $f(x)g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m))$ $n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g$ $m+n$ $m+n=0$ $m=0$ $n=0$ ${\displaystyle f(x)=a_{0},g(x)=b_{0))$ $p$ $a_{0}b_{0}$ $R$ $p$ $a_{0}$ $p$ $b_{0}$ $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{ m}x^{n+m}$ $p$ $R$ $f(x)g(x)$ ${\displaystyle p\mid a_{n}b_{m))$ $R$ ${\displaystyle p\mid a_{n))$ ${\displaystyle p\mid b_{m))$ ${\displaystyle p\mid a_{n))$ $n=0$ $p$ $f(x)$ $n>0$ $p$ $f_{1}(x)g(x)$ $f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n- jeden}$ $f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)$ $a_n$ $p$ $p$ $f_1(x)$ $g(x)$ $p$ ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n))$ $m$ $n$

Pojďme to dokázat . Nechť , , kde , jsou primitivní polynomy. Pak . Protože polynom je primitivní podle dokázaného, pak . Lema je dokázáno. ${\displaystyle c_{f}c_{f}=c_{fg))$ ${\displaystyle f=c_{f}f_{0))$ ${\displaystyle g=c_{g}g_{0))$ $f_0$ $g_{0}$ ${\displaystyle fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0))$ ${\displaystyle f_{0}g_{0))$ ${\displaystyle c_{fg}=c_{f}c_{g))$

Literatura

Zarissky O., Samuel P., Komutativní algebra, přel . z angličtiny, díl 1, M.