Obecný princip kovariance

Princip obecné kovariance je princip, který říká, že rovnice popisující fyzikální jevy v různých souřadnicových systémech v nich musí mít stejný tvar. Takové rovnice se obecně nazývají kovariantní. Příkladem v newtonovské mechanice jsou pohybové rovnice v neinerciálních vztažných soustavách , včetně sil setrvačnosti .

Princip obecné kovariance měl velký heuristický význam pro odvození rovnic obecné teorie relativity , kde byl formulován takto: fyzikální rovnice je splněna v libovolném gravitačním poli , jestliže

rovnice platí za nepřítomnosti gravitace , tj. odpovídá zákonům speciální relativity , když se metrický tenzor v ní rovná plochému Minkowského prostoročasovému tenzoru a afinní spojení je nulové (ekvivalence všech vztažných soustav) a
fyzikální rovnice je obecně kovariantní, to znamená, že si zachovává svůj tvar při libovolné transformaci souřadnic (fyzikální obsah rovnic nezávisí na volbě souřadnicového systému).

Pokud se v důsledku transformace souřadnic změnily proměnné na nich závislé (funkce souřadnic) podle nějakého zákona, pak princip obecné kovariance vyžaduje, aby nové funkce nových souřadnic vyhovovaly rovnicím stejného typu jako staré funkce starých souřadnic.

Princip obecné kovariance a princip ekvivalence

Předpokládejme, že uvažujeme nějakou rovnici, která splňuje princip obecné kovariance v libovolném gravitačním poli . Rovnice je obecně kovariantní, to znamená, že platí ve všech souřadnicových systémech, pokud je platná v libovolném souřadnicovém systému. Ale v každém daném bodě existuje lokálně inerciální souřadnicový systém, ve kterém gravitace chybí. Podmínka dodržení zákonů speciální relativity za nepřítomnosti gravitace znamená, že rovnice platí v lokálním inerciálním souřadnicovém systému a vzhledem k obecné kovarianci je platná i ve všech ostatních souřadných systémech. Princip obecné kovariance tedy vyplývá z principu ekvivalence .

Meze použitelnosti

Pouze v malých oblastech lze nalézt souřadnicové systémy, ve kterých díky principu ekvivalence nedochází k gravitačním účinkům. Proto je princip obecné kovariance aplikovatelný pouze na měřítka, která jsou malá ve srovnání s měřítky gravitačního pole.

Význam pro obecnou relativitu

Princip obecné kovariance a požadavek dodržení Newtonova gravitačního zákona pro slabá gravitační pole a pomalé pohyby gravitujících hmot se ukazují jako dostatečné podmínky pro stanovení relativistického gravitačního zákona obecné teorie relativity .

Matematický popis

Obecné kovariantní transformace se nazývají transformace souřadnic tvaru a operátorů parciálních derivací [1] . Tyto transformace definují grupu symetrie obecné teorie relativity [2] . Lorentzovy transformace jsou zvláštním případem těchto transformací. Lagrangiánů v obecné teorii relativity lze získat z Lagrangiánů speciální teorie relativity nahrazením Minkowského metriky v nich pseudo-Riemannovou metrikou , derivace kovariantními derivacemi ( ) a objemový prvek [2] . ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu '))$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\to \partial _{\mu '}=\sum _{\nu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu ' ))}\částečné _{\nu ))$ ${\displaystyle g_{\mu \nu ))$ $\částečné_\mu$ ${\displaystyle D_{\nu ))$ ${\displaystyle D_{\nu }\tau ^{\mu }=\částečné _{\nu }\tau ^{\mu }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }\tau ^{\ alfa))$ $d^{4}x$ ${\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

Viz také

Poznámky

↑ Ivanenko, 2004 , s. 24.
↑ 1 2 Ivanenko, 2004 , s. 36.

Literatura

Fok V.A. Teorie prostoru, času a gravitace, 2. vyd. - M .: Nauka .- 1961.- 568 s.
Weinberg S. "Gravity and Cosmology", Principles and Applications of General Relativity, trans. z angličtiny. V. M. Dubovik a E. A. Tagirov, editoval Ya. A. Smorodinsky, "Platon", 2000, ISBN 5-80100-306-1 , část 2 "Obecná relativita", kap. 4 "Tensor analýza", str. 1 "Princip obecné kovariance", str. 106-109;
Treder V. A. Teorie gravitace a princip ekvivalence.- M .: Atomizdat .- 1973.- 169 s., MDT 53.02;
Bergman P. Hádanka gravitace., Per. z angličtiny. V. A. Ugarová. - M.: Nauka. - 1969. - 530,1 B 48 MDT 530,12: 531,51, kap. 2 "Obecná teorie relativity", str. 10 "Princip obecné kovariance", str. 79-84;
Ivaněnko D.D. , Sardanashvili GA. Gravitace. — M .: Editorial URSS , 2004. — 200 s. — ISBN 5-354-00538-8 .