Ramanujan Primes

Ramanujanova prvočísla jsou podsekvencí prvočísel spojených s Ramanujanovou větou , která zpřesňuje Bertrandův postulát o distribuční funkci prvočísel .

Historie

V roce 1845 to předpokládal Bertrand

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1

pro všechny , kde je distribuční funkce prvočísel rovna počtu prvočísel nepřesahujících . Tuto hypotézu potvrdil Čebyšev v roce 1850. V roce 1919 Ramanujan, který si všiml priority Čebyševa, dokázal ve dvoustránkovém článku silnější teorém, který definuje posloupnost Ramanujanových prvočísel: [1] $x\geqslant 2$ $\pi(x)$ $X$

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1,2,3,4,5,\ldots

pro všechny (sekvence A104272 v OEIS ). $x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots$

Definice

Ramanujanovo prvočíslo je nejmenší celé číslo, které platí pro jakékoli $R_n$ ${\displaystyle x\geqslant R_{n))$

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n.

Podle Ramanujanovy věty není tento rozdíl pro každého menší a směřuje k nekonečnu. ${\displaystyle x\geqslant R_{n))$ $n$

Je třeba poznamenat, že je nutně prvočíslo: , a proto se musí zvětšit, což je možné pouze tehdy, je-li prvočíslo. $R_n$ $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)$ $\pi (x),$ $R_n$