Ejzenštejnovo prvočíslo
Ejzenštejnské prvočíslo - Ejzenštejnovo číslo :
,
což je neredukovatelný (nebo ekvivalentně jednoduchý ) prvek Z [ω] ve smyslu teorie kruhu. Dělitelé Eisensteinových prvočísel jsou pouze invertibilní prvky (±1, ±ω, ±ω 2 ), a + b ω a jejich součiny.
Násobení invertibilem a konjugace jakéhokoli Eisensteinova prvočísla je také Ejzenštejnovým prvočíslem.
Eisensteinovo celé číslo z = a + b ω je Eisensteinovo prvočíslo právě tehdy, když je splněna jedna z následujících vzájemně se vylučujících podmínek:
- z je součin invertibilního prvku a přirozeného prvočísla tvaru 3 n − 1,
- | z | 2 = a 2 − ab + b 2 je přirozené prvočíslo (srovnatelné s 0 nebo 1 modulo 3).
Z toho vyplývá, že absolutní hodnota druhé mocniny libovolného Eisensteinova celého čísla je buď prvočíslo, nebo druhá mocnina prvočísla.
Několik prvních Eisensteinových prvočísel rovných přirozeným prvočíslům 3 n − 1:
2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 ( OEIS sekvence A003627 ).Všechna přirozená prvočísla shodná s 0 nebo 1 modulo 3 nejsou Eisensteinova prvočísla: lze je faktorizovat na netriviální faktory v Z [ω]. Příklady:
3 = −(1 + 2ω) 2 7 = (3 + ω)(2 − ω).Několik nepřirozených Ejzenštejnových prvočísel:
2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.Až do konjugace a násobení jednotkami jsou výše uvedená čísla spolu s 2 a 5 všechna Eisensteinova prvočísla nepřesahující 7 v absolutní hodnotě .
Od roku 2017 je největší známé skutečné Eisensteinovo prvočíslo 10223 × 2 31172165 + 1 objevené projektem PrimeGrid [1] .
Všechna velká známá prvočísla jsou Mersennova prvočísla a byla nalezena pomocí GIMPS . Skutečná Eisensteinova prvočísla jsou shodná s 2 modulo 3 a Mersennova prvočísla (kromě nejmenších a nich, 3) jsou shodná s 1 modulo 3. Žádné Mersennova prvočíslo tedy není Eisensteinovo prvočíslo.
Viz také
Odkazy
- ↑ Chris Caldwell, „ The Top Twenty: Largest Known Primes Archived 12 June 2018 at the Wayback Machine “ z The Prime Pages . Staženo 2017-03-14.