Dedekind psi-funkce

Funkce Dedekind psi je multiplikativní funkce definovaná na kladných celých číslech jako

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),

kde součin přebírá všechna prvočísla p dělící n (podle konvence je ψ(1) prázdným součinem , a proto má hodnotu 1). Funkci navrhl Richard Dedekind ve vztahu k modulárním funkcím .

Hodnota funkce ψ( n ) pro prvních několik celých čísel n :

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... (sekvence A001615 v OEIS ).

Hodnota funkce ψ( n ) je větší než n pro všechna n větší než 1 a dokonce pro všechna n větší než 2. Je-li n bez čtverce , pak ψ( n ) = σ( n ) .

Funkci ψ lze definovat nastavením p pro mocniny prvočísla a poté rozšířením této definice na všechna celá čísla podle multiplikativnosti. To vede k důkazu generující funkce v podmínkách Riemannovy zeta funkce , což je ${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1))$

\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s))).

To je také důsledek toho, že jej můžeme zapsat jako Dirichletovu skladbu . $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$

Vysoké objednávky

Generalizace na vysoké zakázky přes Jordan Totient

\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))

poblíž Dirichlet

{\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (s)\zeta (sk)} {\zeta (2s))))

Je to také Dirichletova konvoluce mocnin a druhých mocnin Möbiovy funkce ,

\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)

Pokud

\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

je charakteristická funkce čtverců, další Dirichletova konvoluce vede ke zobecněné σ-funkci ,

\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)

Poznámky

Literatura

Goro Shimura . Úvod do aritmetické teorie automorfních funkcí. - Princeton, 1971. - S. 25, rovnice (1).
Carella NA Squarefree celá čísla a extrémní hodnoty některých aritmetických funkcí. — 2010.
Richard J. Mathar. Přehled Dirichletových řad multiplikativních aritmetických funkcí. — 2011. Oddíl 3.13.2
A065958 je ψ 2 , A065959 je ψ 3 a A065960 je ψ 4

Odkazy

Weisstein, Eric W. Dedekind Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .