Pfaffian

Pfaffian šikmo symetrické matice je nějaký polynom ve svých prvcích, jehož druhá mocnina se rovná determinantu této matice. Stejně jako determinant je Pfaffian nenulový pouze pro šikmo symetrické matice velikosti , v takovém případě je jeho stupeň n . $2n\krát 2n$

Příklady

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0 \\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\ 0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

Definice

Označme množinu všech oddílů množiny do neuspořádaných dvojic ( takových oddílů je celkem). Rozdělení lze napsat $\Pí$ $\{1,2,\tečky ,2n\}$ $(2n-1)!!$ $\alpha \in \Pi$

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

kde a . Nechat $i_{k}<j_{k}$ $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{{n}}\end{bmatrix}}

označuje odpovídající permutaci a je znakem permutace . Je snadné vidět, že nezáleží na výběru . ${\mbox{sgn}} (\alpha)$ $\pi$ ${\mbox{sgn}} (\alpha)$ $\pi$

Označme šikmo symetrickou matici. Pro rozdělení definujeme $A=\{a_{{ij}}\}$ $2n\krát 2n$ $\alpha$

A_{\alpha }=\jméno operátora {sgn}(\alpha )a_{{i_{1},j_{1}}}a_{{i_{2},j_{2}}}\cdots a_{{i_{ n},j_{n}}}.

Nyní můžeme definovat Pfaffian matice A jako

\operatorname {Pf}(A)=\součet _{{\alpha \in \Pi }}A_{\alpha }.

Pfaffian matice šikmo symetrické velikosti pro liché n je podle definice nula. $n\krát n$

Rekurzivní definice

Pfaffian matice velikostí se předpokládá 1; Pfaffian šikmo symetrické matice A o velikosti at lze rekurzivně definovat takto: $0\times 0$ $2n\krát 2n$ $n>0$

\operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (ij )}a_{ij}\jméno operátora {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

kde index lze zvolit libovolně, je Heavisideova funkce , označuje matici A bez i -tých a j -tých sloupců a řádků. $i$ $\theta (ij)$ ${\displaystyle A_{{\hat {\imath )){\hat {\jmath ))))$