Schmidtův rozklad

Schmidtův rozklad je určitý typ výrazu pro vektor v tenzorovém součinu dvou Hilbertových prostorů . Ve skutečnosti se jedná o přeformulování rozkladu singulárních hodnot pro matice .

Má četné aplikace v kvantové teorii informace , jako je zapletení . Pojmenováno po Erhardu Schmidtovi .

Formulace

Nechť a být Hilbertovy prostory v dimenzích , resp. Předpokládejme . Pak pro jakýkoli vektor v tenzorovém součinu existují ortonormální sady vektorů a takové $H_1$ $H_2$ $m$ $n$ $m\geq n$ $w$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2))$ ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$

w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},

kde jsou skutečná nezáporná čísla. Navíc, multiset , je jednoznačně určen . $\alpha_i$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{n}\))$ $w$

Poznámky

Množiny vektorů a se nazývají Schmidtovy báze pro . ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$ $w$
Čísla se nazývají Schmidtovy koeficienty pro . ${\displaystyle \{\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{n}\))$ $w$