Sharafutdinov stažení

Sharafutdinovova retrakce je konstrukce, která umožňuje konstruovat retrakce Riemannovy manifoldy s ohledem na konvexní funkci na ní.

Poprvé byl použit v roce 1979 Sharafutdinovem [1] , aby dokázal, že jakékoli dvě duše v manifoldu s nezáporným sekčním zakřivením jsou izometrické.

Konstrukce

Dovolit být připojen Riemannian varieta , být konvexní funkce a . Označme množinou . _ Sharafutdinovova retrakce je rodina zobrazení , která je identická s takovými, že pokud potom leží na gradientové křivce z funkce a zároveň . $M$ $f:M\to \mathbb{R}$ ${\displaystyle s=\max\{\,f(x)\mid x\in M\,\))$ $t\leq s$ $M_t$ ${\displaystyle \{\,x\in M\mid f(x)\leq t\))$ ${\displaystyle \Phi _{t}:M\to M_{t))$ $M_t$ $f(x)<t$ $\Phi _{t}(x)$ $X$ $F$ $f(\Phi _{t}(x))=t$

Vlastnosti

Displeje jsou krátké . ${\displaystyle \Phi _{t}:M\to M_{t))$
Pokud pak . $t\geq \tau$ ${\displaystyle \Phi _{t}\circ \Phi _{\tau }=\Phi _{t))$

Poznámky

↑ V. A. Sharafutdinov. Na konvexních sadách v manifoldu nezáporného zakřivení // Matem. poznámky. - 1979. - T. 26 , č. 1 . - S. 129-136 .