Série Möbius

Série Möbius je funkční řada ve tvaru:

F(x)=\sum _{{s=1}}^{\infty }{\frac {f(sx)}{s^{n}}}

pozoruhodný tím, že byl vyšetřován Möbiem v roce 1832 , a sloužil jako jedna z motivací pro zavedení Möbiovy funkce , která později získala mnoho aplikací v teorii čísel a příbuzných oborech. Inverzní vzorec pro řadu, který objevil Möbius: $\mu (s)$

f(x)=\sum _{{s=1}}^{\infty }\mu (s){\frac {F(sx)}{s^{n}}}

Spolu s Möbiovými inverzními formulemi pro konečné funkční řady je tato inverze přímým důsledkem vlastností Dirichletovy konvoluce , protože Möbiova funkce je Dirichletovou inverzí funkce identity, tedy kde je Dirichletova konvoluce. a je jednotkou Dirichletova prstenu . $1*\mu=\epsilon$ $*$ $\epsilon$

Literatura

Möbius AF Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1832. - S. 105-123 .
Série Möbius - článek z Encyklopedie matematiky . V. M. Bredikhin; viz také komentáře k anglickému překladu článku: Möbius series . Encyklopedie matematiky . (neurčitý)