Hladký osmiúhelník

Zploštělý osmiúhelník je oblast roviny, která má údajně nejmenší nejvyšší hustotu rovinného sbalení ze všech centrálně symetrických konvexních obrazců [1] . Obrázek se získá nahrazením úhlů pravidelného osmiúhelníku úsekem hyperboly , který je tečnou ke dvěma stranám úhlu a asymptoticky se blíží k prodloužením stran osmiúhelníku přiléhajících ke stranám úhlu.

Maximální hustota balení

Vyhlazený osmiúhelník má maximální hustotu balení

{\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\cca 0,902414\,.

[2]

Tato hustota je menší než maximální hustota balení kruhů , která je rovna

{\frac {\pi }{\sqrt {12))}\cca 0,906899.

Maximální hustota balení běžných pravidelných osmiúhelníků je

{\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\cca 0,906163,

což je také o něco menší než maximální hustota zaplnění kruhů, ale větší než hustota zaplnění vyhlazeného osmiúhelníku [3] .

Vyhlazený osmiúhelník dosahuje maximální hustoty těsnění nejen pro jedno těsnění, ale i pro jednoparametrovou rodinu těsnění. Všechny jsou příhradové ucpávky [4] .

Pro trojrozměrný prostor uvádí Ulamská domněnka o balení , že neexistuje konvexní obrazec s nejvyšší hustotou balení menší než balení kuliček.

Budova

Při uvažování rodin maximálně hustých výplní vyhlazeného osmiúhelníku lze pro určení tvaru rohů použít požadavek, aby hustota výplně zůstala stejná, jak se mění kontaktní body sousedních osmiúhelníků. Na obrázku se tři osmiúhelníky otáčejí, zatímco plocha trojúhelníku tvořená středy těchto osmiúhelníků se nemění. U pravidelných osmiúhelníků se fragmenty hran překrývají, takže aby bylo možné otáčet, musí být rohy odříznuty v bodě uprostřed mezi středy osmiúhelníků, což má za následek křivku, která se ukáže jako hyperbola.

Hyperbola je konstruována jako tečna ke dvěma stranám osmiúhelníku, pro které jsou čáry obsahující strany, které k nim přiléhají, jejími asymptotami. Položme na rovinu pravidelný osmiúhelník o poloměru kružnice opsané tak, aby její střed byl v bodě a jeden vrchol byl v bodě . Definujme dvě konstanty, ℓ a m : ${\sqrt {2}}$ $(2+{\sqrt {2)),0)$ $(2.0)$

\ell ={\sqrt {2}}-1

{\displaystyle m={\sqrt[{4}]{\frac {1}{2))))

Potom je hyperbola dána rovnicí

{\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2))

nebo v ekvivalentní parametrizované podobě (pouze pro pravou stranu hyperboly):

{\begin{cases}x={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y=m\sinh {t}\end{cases)),\;-\infty < t<\infty

Část hyperboly, která tvoří rohy osmiúhelníku, je dána hodnotami parametru

-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}

Přímky stran osmiúhelníku, které jsou tečné k hyperbole, jsou dány rovnicemi

y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)

A přímky stran, které jsou asymptotami hyperboly, jsou dány rovnicemi

y=\pm \ell x.

Viz také

Balící kruhy
Ulamův odhad balení

Poznámky

↑ Reinhardt, 1934 , str. 216-230.
↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon na webu Wolfram MathWorld .
↑ Atkinson, Jiao, Torquato, 2012 .
↑ Kallus, 2013 .

Literatura

K. Reinhardt. Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven // Abh. Matematika. Sem. Hamburg. - 1934. - Vydání. 10 . - S. 216-230 .
Steven Atkinson, Yang Jiao, Salvatore Torquato. Maximálně husté náplně dvourozměrných konvexních a konkávních nekruhových částic // Phys. Rev. E. - 2012. - T. 86 , č. 03 . Archivováno z originálu 24. srpna 2014.
Yoav Kallus. Nejméně efektivní tvary balení // Geometrie a topologie. - 2013. - Květen.

Odkazy

Nejtenčí husté dvourozměrné balení? . Peter Scholl, 2001.