Elipsoid rotace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. srpna 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Rotační elipsoid (sféroid) je rotační plocha v trojrozměrném prostoru tvořená rotací elipsy kolem jedné z jejích hlavních os .

Pojem „sféroid“ k označení dvou variant rotačního elipsoidu zavedl Archimedes : „... věříme, že: jestliže se elipsa, při zachování pevné hlavní osy, otáčí a vrací se do své původní polohy, pak je obrazec jím pokrytý se bude nazývat protáhlý sféroid (παραμακες σφαιροιδες). Pokud se elipsa otáčí, zatímco vedlejší osa zůstává nepohyblivá a vrací se zpět, pak se jím pokrytý útvar bude nazývat zploštělý sféroid (επιπλατυ σφαιροιδες).» [jeden]

Rotační elipsoid je speciální případ elipsoidu , jehož dvě ze tří poloos mají stejnou délku.

( ): $a_{x}=a_{y}=a$

{\frac {x^{2}}{a_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}={\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{ 2}}}=1.

V konkrétním případě, kdy jsou všechny tři poloosy stejné, je původní elipsa kružnice a rotační elipsoid degeneruje do koule .

Prolate elipsoid revoluce

Prolamovaný rotační elipsoid (prolate spheroid) může být také definován jako těžiště bodů v prostoru, pro které je součet vzdáleností dvou daných bodů ( ohnisek ) konstantní.

Zrcadlo ve formě protáhlého rotačního elipsoidu má následující vlastnost: paprsky světla vycházející z jednoho z ohnisek elipsoidu se po odrazu shromáždí v jiném ohnisku.

Zploštělý elipsoid revoluce

Zploštělý rotační elipsoid (zploštělý sféroid) lze také definovat jako místa bodů v prostoru, pro které je součet vzdáleností k nejbližšímu bodu a nejvzdálenějšímu bodu dané kružnice konstantní.

Základní vzorce

Plocha povrchu:

zploštělý elipsoid revoluce ( ): $a>b$

S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2)){\sqrt {a^{2}-b^{2))))\ln \left({\frac { a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e ^{2}}{e}}\operatorname {Arth} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {b^{2}}{e}}\ln \left({ \frac {1+e}{1-e}}\right),

kde

e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};

prolamovat elipsoid revoluce ( ): $a<b$

S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\arcsin \left({\frac { \sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {b}{ae}} \arcsin \,e\right),

kde

e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.

Hlasitost:

V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b

Příklady

Tvar Země - s dobrou aproximací je zploštělý rotační elipsoid s . ${{\frac {a}{b}}\cca {{\frac {301}{299}}}}$

Aplikace

Vlastnost rotačního elipsoidu odrážet paprsky nasměrované do jednoho z ohnisek do jiného ohniska se používá v dalekohledech Gregoryho systému a v Gregoryho anténách .

Vlevo je radioteleskop RT-70 vyrobený podle anténního systému Gregory.
Vpravo je optické rozložení Gregoryho dalekohledu; malé zrcátko má tvar protáhlého rotačního elipsoidu

Poznámky

↑ L. Russo. Zapomenutá revoluce (neopr.) . - Springer, Berlín, 2004. - S. 180 .

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Skvělý norský Britannica (online) plocha počítače