Podpis (lineární algebra)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

V lineární algebře je signatura numerická charakteristika kvadratické formy nebo pseudoeuklidovského prostoru , ve kterém je skalární součin dán odpovídající kvadratickou formou.

Definice

Každá kvadratická forma s reálnými koeficienty může být redukována nedegenerovanou lineární změnou proměnných na kanonickou formu

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{{p+1}}^{2}-x_{{p+2} }^{2}-\cdots -x_{{p+q}}^{2}.

Rozdíl mezi počtem kladných a záporných členů v tomto zápisu se nazývá signatura kvadratické formy. Čísla p a q signatury nezávisí na způsobech uvedení formy do kanonické formy ( Sylvesterův zákon setrvačnosti ). $pq$

Signatura kvadratického tvaru se také zapisuje jako dvojice čísel nebo jako příslušný počet plusů a mínusů. $(p,q)$ $(+\cdots+-\cdots-)$

Příklad

Kvadratická forma ve dvou proměnných může být redukována na kanonickou formu , například pomocí lineární změny proměnných: $x_{1}x_{2}$ ${\tilde x}_{1}^{2}-{\tilde x}_{2}^{2},$

$x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),$ $x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).$

Signatura této kvadratické formy je nula, nebo může být zapsána jako nebo jako $(1.1)$ $(+-).$

Viz také

Literatura

Maltsev AI Základy lineární algebry. — M.: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře. — M.: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Přednášky o algebře. — M.: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak Lineární algebra, M.: M.: Nauka, Fizmatlit, 1999.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.