Hilbertův symbol

Hilbertův symbol nebo normový zbytek je funkcí dvou argumentů od do skupiny kořenů t. stupně od jednoty v lokálním poli (například v oboru reálných čísel nebo v oboru p-adických čísel . Je spojován se zákony reciprocity a lze jej definovat prostřednictvím symbolu Artin z Teorie pole místní třídy Hilbertův symbol byl představen v jeho Zahlbericht , s drobným rozdílem, že jej definoval pro prvky globálních polí spíše než pro větší lokální pole. ${\displaystyle K^{\times }\times K^{\times ))$ $n$ $K$

Hilbertův symbol zobecňuje na vyšší místní pole .

Kvadratický Hilbertův symbol

Nechť je lokální pole a nechť je jeho multiplikativní grupa nenulových prvků. Kvadratický Hilbertův symbol přes je funkce od do , definovaná jako $K$ ${\displaystyle K^{\times ))$ $K$ $(a,b)$ ${\displaystyle K^{\times }\times K^{\times ))$ $\{-1;1\}$

(a,b)={\begin{cases}1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ má nenulové řešení } }(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ jinak.}}\end{cases}}

Vlastnosti

Následující tři vlastnosti vyplývají přímo z definice výběrem vhodného řešení pro diofantinskou rovnici uvedenou v definici a platí pro jakékoli lokální pole : $K$

$(a^{2},b)=1$ pro jakýkoli . $a,b$
$(a,b)=(b,a)$ pro jakýkoli . $a,b$
Pro každý takový , že platí, že $a\in K^{\times }$ ${\displaystyle a-1\in K^{\times ))$ $(a,1-a)=1$

Bimultiplikativní, tzn

(a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})\cdot (a,b_{2})

pro jakýkoli . Tato vlastnost se obtížněji dokazuje a vyžaduje vývoj místní teorie pole . ${\displaystyle a,b_{1},b_{2}\in K^{\times ))$

Třetí vlastnost ukazuje, že Hilbertův symbol je příkladem Steinbergova symbolu a tedy faktory nad druhou Milnorovou K -skupinou , která je definována jako $K_{2}^{M}(K)$

K^{\times }\otimes K^{\times }/(a\otimes (1-a),a\in K\setminus \{0;1\})

U první vlastnosti dokonce zohledňuje . Toto je první krok k Milnorově domněnce . $K_{2}^{M}(K)/2$

Interpretace jako algebra

Hilbertův symbol lze také použít k označení centrální jednoduché algebry se základem a pravidly násobení , , . $K$ $1,i,j,k$ $i^{2}=a$ $j^{2}=b$ $ij=-ji=k$

Hilbertovy symboly nad racionálními čísly

Pro bod (angl. místo) z oboru racionálních čísel a racionálních čísel označte Hilbertův symbol v odpovídajícím dokončení . Jako obvykle, pokud se jedná o exponent spojený s prvočíslem , pak odpovídající dokončení je pole -adic čísel , a pokud je to bod nekonečna, pak dokončení je pole reálných čísel . $proti$ $a,b$ ${\displaystyle (a,b)_{v))$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{v))$ $proti$ $p$ $p$ $proti$

V oboru reálných čísel tehdy a jen tehdy , když nebo , a když obojí . $(a,b)_{\infty }=+1$ $a>0$ $b>0$ $(a,b)_{\infty }=-1$ $a,b<0$

Nad -adic čísla s lichou dáme a , kde jsou celá čísla spojena s , pak dostaneme $p$ $p$ $a=p^{\alpha }u$ $b=p^{\beta }v$ $u, v$ $p$

(a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p))\right)^{\beta } \left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }

, kde

\epsilon (p)=(p-1)/2

a jsou Legendre symboly . $\left({\frac {u}{p}}\right),\left({\frac {v}{p}}\right)$

Vložíme a over - adic čísla , kde jsou lichá čísla, pak dostaneme $2$ $a=2^{\alpha }u$ $b=2^{\beta }v$ $u, v$

{\displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)))

kde

\omega (x)=(x^{2}-1)/8.

Je známo, že pokud proběhne všechny body (anglicky místo), téměř všechny body. Proto následující vzorec s nekonečným součinem $proti$ $(a,b)_{v}=1$

\prod _{v}(a,b)_{v}=1

má význam. Tento vzorec je ekvivalentní kvadratickému zákonu reciprocity .

Kaplanského radikál

Symbol Hilbert na poli je definován jako mapování $F$

(\cdot ,\cdot ):F^{\times }/(F^{\times })^{2}\times F^{\times }/(F^{\times })^{2 }\rightarrow \mathop {Br} (F)

kde je Brouwerova skupina pole . Jádrem tohoto mapování je množina všech prvků taková, že pro všechny je radikál Kaplanova pole . [jeden] $\mathop {Br} (F)$ $F$ $A$ $(a,b)=1$ $b$ $F$

Radikál je podskupina identifikovaná s podskupinou . Radikál obsahuje grupu rovnou tehdy a jen tehdy , když není formálně reálný a má u - invariant nejvýše 2. [2] Na druhou stranu pole s radikálem se nazývá Hilbertovo pole . [3] ${\displaystyle F^{\times }/(F^{\times })^{2))$ $F^{\times }$ $F^{\times }$ $F$ $(F^{\times })^{2}$

Hilbertův symbol obecně

Jestliže lokální pole obsahující skupinu tých odmocnin jednoty pro nějaké coprime s charakteristikou , pak Hilbertův symbol je funkcí od do . Lze jej vyjádřit pomocí symbolu Artin jako [4] $K$ $n$ $U_{n}$ $n$ $K$ ${\displaystyle K^{\times }\times K^{\times ))$ $U_{n}$

(a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b)))/K){\sqrt[{n}] {b}}

Vlastnosti

Hilbertův symbol je multiplikativní v obou argumentech (bilineární):

(ab,c)=(a,c)(b,c)

(a,bc)=(a,b)(a,c)

šikmo symetrický:

{\displaystyle (a,b)=(b,a)^{-1))

nedegenerované:

(a,b)=1

pro všechny tehdy a jen tehdy

b

{\displaystyle a\in (K^{\times })^{n))

Všímá si normy (proto se symbol zbytku normy nazývá):

(a,b)=1

právě tehdy, když je norma prvku z

A

K({\sqrt[{n}]{b)))

Má vlastnosti Steinbergova symbolu :

(a,1-a)=1;(a,-a)=1.

Hilbertův zákon reciprocity

Hilbertův zákon reciprocity říká, že pokud leží v algebraickém číselném poli , které obsahuje ty kořeny jednoty, pak [5] $a,b$ $n$

\prod _{p}(a,b)_{p}=1

kde prochází konečnými a nekonečnými poli prvočísel a je Hilbertův symbol dokončen s ohledem na . Hilbertův zákon reciprocity vyplývá z Artinova zákona reciprocity a definice Hilbertova symbolu z hlediska Artinova symbolu. $p$ ${\displaystyle (a,b)_{p))$ $p$

Symbol zbytku energie

Jestliže je číselné pole obsahující th odmocniny jednoty, je prvočíslo, které nedělí , je prvočíslem místního pole od , ale je spojeno s , pak symbol mocninného zbytku , související s Hilbertovým symbolem vztahem [6 ] $K$ $n$ $p$ $n$ $\pi$ $p$ $A$ $p$ ${\binom {a}{p))$

{\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}

Symbol mocninného zbytku je rozšířen na zlomkové ideály pomocí multiplikativnosti a je definován pro prvky číselného pole nastavením , kde je hlavní ideál generovaný pomocí . Hilbertův zákon reciprocity implikuje následující zákon reciprocity pro symbol zbytků moci: pro coprime navzájem a pro : ${\binom {a}{b}}={\binom {a}{(b)))$ $(b)$ $b$ $a,b$ $n$

{\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}

Poznámky

↑ Lam (2005) s.450-451
↑ Lam (2005) str. 451
↑ Lam (2005) str. 455
↑ Neukirch (1999) s. 333
↑ Neukirch (1999) str. 334
↑ Neukirch (1999) s.336

Literatura

Z.I.Borevich , I.R.Shafarevich . Teorie čísel. — M.: Nauka. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985.
J. Cassels, A. Froelich. Algebraická teorie čísel. — M.: Mir, 1969.
K. Iwasawa. Lokální teorie třídních polí. — M.: Mir, 1983.
Hilbert, David (1897), Die Theorie der algebraischen Zahlkorper , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 4: 175–546 , ISSN 0012-0456 >
Hilbert, David (1998), The theory of algebraic number Fields , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1 , < https://books.google.com/books?id=_Q2h83Bm94cC >
Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields , sv. 67, Graduate Studies in Mathematics , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1095-2
Milnor, John Willard (1971), Úvod do algebraické K -teorie , sv. 72, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press
Neukirch, Jurgen (1999), Algebraická teorie čísel , sv. 322, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6
Serre, Jean-Pierre (1996), Kurz aritmetiky , sv. 7, Graduate Texts in Mathematics , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90040-5
Vostokov, SV & Fesenko, IB (2002), Místní pole a jejich rozšíření , sv. 121, Translations of Mathematical Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2 , < http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/book/book.html >

Odkazy

[1] o encyklopedii matematiky
HilbertSymbol na Mathworld