Steinerova symetrizace

Steinerova symetrizace je konstrukce určitého typu, která spojuje libovolnou postavu s postavou se zrcadlovou symetrií. Tato konstrukce se používá při řešení izoperimetrického problému navrženého Jakobem Steinerem v roce 1838.

Na základě Steinerovy symetrizace byly sestrojeny další symetrizace, které se používají v podobných úlohách.

Definice

Nechť existuje nadrovina a buď daná postava v . $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Phi$ $\mathbb {R} ^{n}$

Zaveďme ortogonální souřadnicový systém, ve kterém je popsán rovnicí . Pro každý bod označme délku průsečíku kolmice k průsečíku s množinou . Dále protáhneme úsek délky se středem v , kolmo na . Spojení takových segmentů je Steinerova symetrizace s ohledem na . $H$ $x_{n}=0$ $x\v H$ $\ell _{x}$ $H$ $X$ $\Phi$ $X$ $\ell _{x}$ $X$ $H$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $H$

Vlastnosti

Hlasitost je stejná jako hlasitost . $\Phi ^{*}$ $\Phi$

Plocha povrchu nepřesahuje plochu povrchu . $\Phi ^{*}$ $\Phi$
- Je-li konvexní těleso, pak rovnosti povrchů a je dosaženo pouze tehdy, je-li zrcadlově symetrické vzhledem k nadrovině rovnoběžné s rovinou symetrizace. $\Phi$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $\Phi$
- V obecném případě lze dosáhnout rovnosti nejen u zrcadlově symetrických , např. u rovinných obrazců složených ze dvou obdélníků se základnami rovnoběžnými s přímou symetrizací. $\Phi$

Pokud je konvexní, pak totéž platí pro . $\Phi$ $\Phi ^{*}$

Steinerova symetrizace nezvyšuje Hausdorffovu vzdálenost mezi figurami, tzn. $d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),$

kde a jsou libovolné postavy a jsou jejich symetrizacemi vzhledem ke stejné nadrovině a je Hausdorffova metrika .

\Phi

\psi

\Phi ^{*}

\Psi ^{*}

d_{H}

Pokud , tak . $\Phi \subset \Psi$ $\Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}$

Variace a zobecnění

Symetrizace Polya (kruhová).
Osová symetrizace je podobná Steinerově symetrizaci, ale dává údaj, který je při rotacích kolem dané přímky neměnný.

Literatura

Blaschke . Kruh a míč . - M .: Nauka, 1967.