Systém Rees

Riesův systém je takový systém vektorů v Hilbertově prostoru s danými konstantami a , že pro libovolnou posloupnost komplexních čísel řada konverguje v normě v , a platí: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in H$ $H$ $A$ $B$ ${\displaystyle c=\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in l_{2))$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n))$ $H$

A\|c\|_{l_{2}}^{2}\leqslant \left\|\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n}\right\ |_{H}^{2}\leqslant B\|c\|_{l_{2}}^{2}

Reesův základ je Reesův systém, který je základem v ( Schauderův základ ). $H$

Reesův základ je zobecněním konceptu ortonormálního základu a dvojitá nerovnost uvedená v definici je zobecněním Besselovy nerovnosti . Dalším názvem pro Reesovy báze jsou báze, které jsou ekvivalentní ortonormálním bázím .

Systém vektorů je Reesovým základem tehdy a pouze tehdy, pokud jej lze získat z ortonormálního základu omezenou invertibilní transformací.

Jakýkoli systém Rees je ve vesmíru základem Rees:

V=\left\{f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n},~~\sum _{n=1}^{\infty }|c_ {n}|^{2}<\infty \right\}

v tomto případě pro jakýkoli prvek platí následující nerovnost: $f\in V$

A\|f\|^{2}\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }|(f,f_{n})|^{2}\leqslant B\|f\| ^{2}

Jakýkoli základ Rees je bezpodmínečný základ, to znamená, že zůstává základem po jakékoli permutaci prvků.

Literatura

Gokhberg I. Ts ., Kerin M. G. , Úvod do teorie lineárních nesamosadných operátorů v Hilbertově prostoru (nepřístupný odkaz) , M.: Nauka, 1965. - 448 s.
Bari NK , Biortogonální systémy a báze v Hilbertově prostoru , Kazan. aplikace. Moskevská státní univerzita 148, Matematika 4, 69-107.
Avdonin SA , K otázce Rieszových základů z exponenciálních funkcí v $L^{2}$ , Zkoumání lineárních operátorů a teorie funkcí. IV, Zap. vědecký rodina LOMI, 39, nakladatelství Nauka, Leningrad. otd., L., 1974, 176-177
Orynbasarov E. M., Sadybekov M. A. , Základní vlastnost systému vlastních a přidružených funkcí okrajové úlohy s posuvem pro vlnovou rovnici , Matem. notes, 51:5 (1992), 86-89.