Lagrangeovy závorky
Lagrangeovy závorky jsou binární operace v hamiltonovské mechanice, úzce související s další binární operací, Poissonovými závorkami . Lagrangeovy závorky zavedl Lagrange v letech 1808-1810 pro matematické výrazy v klasické mechanice . Na rozdíl od Poissonových držáků se Lagrangeovy držáky v dnešní době prakticky nepoužívají.
Definice
Nechť ( q 1 , …, q n , p 1 , …, p n ) je systém kanonických souřadnic ve fázovém prostoru . Pokud je každá z nich vyjádřena jako funkce dvou proměnných, u a v , pak jsou Lagrangeovy závorky u a v definovány vzorcem
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i)){\partial u)){\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\ že jo).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
Je třeba poznamenat, že tento vzorec se shoduje s definicí Poissonových závorek až do permutace čitatelů a jmenovatelů v parciálních derivačních operátorech.
Vlastnosti
- Lagrangeovy závorky (jako Poissonovy) jsou antikomutativní , což je zřejmé přímo z definice:
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816cbee5211de2b81419c9020357c2cf13fa9b4e)
- Lagrangeovy závorky nezávisí na kanonickém souřadnicovém systému ( q , p ) . Jestliže ( Q , P ) = ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) je jiný kanonický souřadnicový systém, pak
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39051426dab031895942d32aa708c5f895a50060)
- Je -li Ω symplektický prostor ve 2n - rozměrném fázovém prostoru W a u 1 , …, u 2 n tvoří souřadnicový systém ve W , pak lze kanonické souřadnice ( q , p ) vyjádřit jako funkce souřadnic u a Matice Lagrangeových závorek
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
- V důsledku předchozích vlastností jsou souřadnice ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) ve fázovém prostoru kanonické právě tehdy, když Lagrangeovy závorky mezi nimi mají tvar
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{ i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
Viz také
Literatura
- Cornelius Lanczos . Variační principy mechaniky. - Dover, 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
- Patrik Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Matematika. - 1998. - T. (2) 44 , no. 3-4 . — S. 257–277 . MR : 1659212
Odkazy
- Eric W. Weisstein . Lagrange bracket (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
- A. P. Soldatov. Encyklopedie matematiky / Hazewinkel, Michiel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .