Seznam sfér sférické symetrie

Skupina bodů ve 3D prostoru

Skupiny polytopů , [n,3], (*n32)
Involuční symetrie C s , (*) [ ] =	Cyklická symetrie C nv , (*nn) [n] =	Dihedrální symetrie D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrická symetrie T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrická symetrie O h , (*432) [4,3] =	Ikosahedrická symetrie I h , (*532) [5,3] =

Sférické skupiny symetrie jsou také nazývány bodovými skupinami v trojrozměrném prostoru , nicméně tento článek zvažuje pouze konečné symetrie. Existuje pět základních tříd symetrie, které mají trojúhelníkové základní domény: dihedrální , cyklický , tetraedrický , oktaedrický a ikosaedrický .

V článku jsou uvedeny skupiny podle symbolů Schoenflies , Coxeterovy notace [1] , orbifold notace [2] a pořadí. Conway použil variantu zápisu Schoenflies, založenou na algebraické struktuře skupiny čtveřice , s jedním nebo dvěma velkými písmeny a úplnou sadou indexů. Pořadí skupin je označeno indexem, pokud není zdvojeno znaménkem plus/mínus („±“), což implikuje středovou symetrii [3] .

Uvedena je i symbolika Herman-Mogen (mezinárodní rekord). Krystalografické skupiny , celkem 32, jsou podmnožinou s prvky řádu 2, 3, 4 a 6 [4] .

Symetrie-involuce

Existují čtyři symetrie, které jsou k sobě inverzní, tzn. involuce : transformace identity (C1 ) , zrcadlová symetrie (Cs ) , rotační symetrie (C2 ) a středová symetrie ( Ci ).

Int.	Geom. [5]	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.	Fond. kraj
jeden	jeden	jedenáct	C1 _	C1 _	][ [ ] +	jeden
2	2	22	D1 = C2 _	D2 = C2 _	[2] +	2

Int.	Geom.	Orib.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.	Fond. kraj
jeden	22	×	C i \u003d S 2	CC2 _	[2 + ,2 + ]	2
2 = m	jeden	*	Cs = Civ = Cih _	± C1 = CD2	[ ]	2

Cyklická symetrie

Existují čtyři nekonečné rodiny cyklické symetrie s n = 2 a vyšší. (n se může rovnat 1 jako speciální případ žádné symetrie )

Int.	Geo	Koule.	Schönf.	Conway.	Kola.	Od té doby.
2	2	22	C2 = D1 _	C2 = D2 _	[2] + [2,1] +	2
mm2	2	*22	C2v = D 1h	CD 4 = DD 4	[2] [2,1]	čtyři
čtyři	42	2×	S4 _	CC4 _	[2 + ,4 + ]	čtyři
2/m	2 2	2*	C2h = D ld	±C2 = ± D2	[2,2 + ] [2 + ,2]	čtyři

Int.	Geom.	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.
3 4 5 6 n	3 4 5 6 n	33 44 55 66 nn	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	[3] + [4] + [5] + [6] + [n] +	3 4 5 6 n
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 n	33 44 55 66 *nn	C 3v C 4v C 5v C 6v C nv	CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10,2 12,2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n	±C 3 CC 8 ±C 5 CC 12 CC 2n / ±C n	[2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2n + ]	6 8 10 12 2n
3/m= 64 /m5 /m= 106 /m n/m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3* 4* 5* 6* n*	C 3h C 4h C 5h C 6h C nh	CC 6 ±C 4 CC 10 ±C 6 ±C n / CC 2n	[2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ]	6 8 10 12 2n

Dihedrální symetrie

Existují tři nekonečné rodiny s dihedrální symetrií s n rovným nebo větším než 2. ( n se může rovnat 1 jako speciální případ)

Int.	Geom.	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.
222	2 . 2	222	D2 _	D4 _	[2,2] +	čtyři
42 m_	4 2	2*2	D2d _	D.D. 8	[2 + ,4]	osm
hmmm	22	*222	D2h _	±D 4	[2,2]	osm

Int.	Geom.	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2n . _ 2	223 224 225 226 22n	D 3 D 4 D 5 D 6 Dn _	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n	[2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2,n] +	6 8 10 12 2n
3m 8 2m 5m 12,2m _ _ _	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	23 24 25 26 2*n	D 3d D 4d D 5d D 6d D nd	±D 6 DD 16 ±D 10 DD 24 DD 4n / ±D 2n	[2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2n]	12 16 20 24 4n
6 m2 4/mm 10 m2 6/mm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D 3h D 4h D 5h D 6h D nh	DD 12 ±D 8 DD 20 ±D 12 ±D 2n / DD 4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Symetrie mnohostěnů

Existují tři typy symetrie pro mnohostěny : tetraedrická symetrie , oktaedrická symetrie a ikosaedrická symetrie , pojmenované pro pravidelné trojúhelníkové mnohostěny, které mají takové symetrie.

Tetraedrická symetrie

Int.	Geom.	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] + = [4,3 + ] +	12
m 3	4 3	3*2	T h	±T	[ 4,3+ ]	24
43m _	33	*332	T d	NA	[3,3] = [1 + ,4,3]	24

Oktaedrická symetrie

Int.	Geom.	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.	Fond. kraj
432	4 . 3	432	Ó	Ó	[4,3] + = [[3,3]] +	24
m 3 m	43	*432	O h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Ikosahedrická symetrie

Int.	Geom.	Koule.	Schönf.	Conway	Kola.	Od té doby.	Fond. kraj
532	5 . 3	532	já	já	[5,3] +	60
53 2/m	53	*532	já h	±I	[5,3]	120

Viz také

Krystalografická skupina bodové symetrie
trojúhelníková skupina
Seznam rovinných grup symetrie
Skupiny bodů ve dvourozměrném prostoru

Literatura

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Příloha I
Donald E. Sands. Krystalové systémy a geometrie // Úvod do krystalografie . - Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. - S. 165 . - ISBN 0-486-67839-3 .

John H. Conway, Derek A. Smith. O čtveřicích a oktávách = O čtveřicích a oktoniích. - Moskva: MTSNMO, 2009. - ISBN 978-5-94057-517-7 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Symetrie věcí. - New York: A. K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
HSM Coxeter . Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Příspěvek 22) HSM Coxeter, pravidelné a polopravidelné polytopy I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (Příspěvek 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Příspěvek 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson. Kapitola 11: Konečné skupiny symetrie // Geometrie a transformace. — 2015.
D. Hestenes , J. Holt. Skupiny krystalografického prostoru v geometrické algebře // Journal of Mathematical Physics. - 2007. -Vydání. 48, 023514.

Externí odkazy

Konečné kulové grupy symetrie
Weisstein, Eric W. Schoenflies symbol (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Krystalografické skupiny bodů (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Nejjednodušší kanonické mnohostěny každého typu symetrie , David I. McCooey