Symboly Schoenflies

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. prosince 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Symboly Schoenflies jsou jedním ze symbolů pro skupiny bodové symetrie spolu se symboly Herman-Mogen . Navrhl německý matematik Arthur Schoenflies v knize "Kristallsysteme und Kristallstruktur" v roce 1891. [1] Může být také použit k označení prostorových grup (trojrozměrná krystalografická grupa ).

Zápis skupin bodů

Při bodové symetrii si alespoň jeden bod zachovává svou polohu. Skupiny bodové symetrie v trojrozměrném prostoru lze rozdělit do několika rodin. V symbolech Schoenflies jsou popsány takto:

S n jsou cyklické skupiny - skupiny s jediným speciálním směrem reprezentovaným rotační osou symetrie - označeny písmenem C , přičemž index n odpovídá pořadí této osy.

C nv (z němčiny vertikální - vertikální) - skupiny s n vertikálními rovinami symetrie umístěnými podél osy symetrie, která je vždy považována za vertikální.
C nh (z němčiny horizontal - horizontal) - skupiny s vodorovnou rovinou symetrie , kolmou k ose symetrie.

S 2n (z německého spiegel - zrcadlo) - skupiny s jedinou zrcadlovou osou symetrie. Index osy je vždy sudý, protože při lichém indexu je osa zrcadlení jednoduše kombinací osy symetrie a roviny k ní kolmé, tedy S n = C nh pro liché n .

C s - pro rovinu neurčité orientace, to znamená nepevnou kvůli absenci jiných prvků symetrie ve skupině.

S ni -skupinami s jedinou inverzní osou symetrie následuje dolní index i . Zpravidla se používá pouze С i (pro n = 1), ale někdy se v literatuře objevují označení jako С 3i , С 5i .
D n - je grupa C n s dalšími n osami symetrie druhého řádu, kolmými na původní (hlavní) osu.

D nh - má také horizontální a n vertikální roviny symetrie.
D nd (z němčiny diagonal - diagonal) - má také n vertikálních rovin symetrie probíhajících diagonálně mezi horizontálními osami druhého řádu.

Skupina D2 byla někdy dříve označována jako V (z němčiny Vierergruppe - čtyřnásobná skupina ) a skupiny D2h a D2d jako Vh a Vd , v tomto pořadí .

T, O, I jsou skupiny symetrie s několika osami vyššího řádu (řád osy n je větší nebo roven 3). Přidání indexu h indikuje přítomnost horizontální roviny a v důsledku toho vertikálních rovin symetrie a středu inverze. Přidání indexu d ke skupině T indikuje přítomnost diagonálních rovin symetrie. Rozdíl mezi skupinou T d a T h je v tom, že první neobsahuje střed inverze, zatímco druhá ano, ale T d obsahuje tři inverzní osy čtvrtého řádu, zatímco v T h žádné takové osy nejsou.

T , T h , T d - množina rotačních os v čtyřstěnu (pouze rotační osy 2. a 3. řádu).
O , O h - množina os rotace v osmistěnu nebo krychli (osy rotace 2., 3. a 4. řádu).
I , I h - množina rotačních os v dvacetistěnu nebo dvanáctistěnu (rotační osy 2., 3. a 5. řádu).

Někdy se ikosaedrické skupiny I a Ih označují jako Y a Yh .

Skupiny s nejvýše jednou osou vyššího řádu lze uspořádat v následující tabulce

n	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	...	$\infty$
C n	C1 _	C2 _	C3 _	C4 _	C5 _	C6 _	C7 _	C 8	…	C∞ _
C nv	C1v = Cs _ _	C 2v	C 3v	C4v _	C5v _	C6v _	C 7v	c8v _	…	C∞v _
C nh	C1h = Cs _ _	C 2h	C 3h	C4h _	C 5h	C6h _	C 7h	C 8h	…	C∞h _
S n	Si = Cs _ _	S 2 \ u003d C i	S3 = C3h _ _	S4 _	S5 = C5h _ _	S6 _	S 7 \ u003d C 7h	S8 _	…	S∞ = C∞h _ _
C ni	Ci = Ci _ _	C2i = Cs _ _	C3i = S6 _ _	C4i = S4 _ _	C5i = S10 _ _	C6i = C3h _ _	C7i = S14 _ _	C8i = S8 _ _	…	C∞i = C∞h _ _
D n	D1 = C2 _ _	D2 = V _	D3 _	D4 _	D5 _	D6 _	D7 _	D8 _	…	D∞ _
Dnh _	Dlh = C2v _ _	D2h = Vh _ _	D3h _	D4h _	D5h _	D6h _	D7h _	D8h _	...	D∞h _
Dnd _	D1d = C2h _ _	D2d = Vd _ _	D3d _	D4d _	D5d _	D6d _	D7d _	D8d _	…	D∞d = D∞h _ _

Vínové barevné značky nepoužívají varianty skupinových označení.

V krystalografii může díky translační symetrii krystalové struktury nabývat n pouze hodnot 1, 2, 3, 4 a 6. Nekrystalografické skupiny bodů jsou uvedeny na šedém pozadí. D 4d a D 6d jsou také nekrystalografické, protože obsahují zrcadlové osy řádu 8 a 12, v tomto pořadí. 27 skupin krystalografických bodů z tabulky a pět skupin T , Td , Th , O a Oh tvoří všech 32 skupin bodů krystalografické symetrie .

Skupiny s se nazývají limitní skupiny [2] nebo Curieovy skupiny . Patří mezi ně další dvě skupiny, které nejsou uvedeny v tabulce. Toto je skupina všech možných rotací kolem všech os procházejících bodem, K (z němčiny Kugel - koule) - skupina rotací, stejně jako skupina K h , která popisuje symetrii koule - maximální možný bod symetrie v trojrozměrném prostoru; všechny bodové skupiny jsou podskupinami skupiny Kh . Někdy se tyto skupiny označují také R (3) (z anglického rotace - rotace) a R h (3) . V matematice a teoretické fyzice se obvykle označují jako SO(3) a O(3) ( speciální ortogonální grupa v trojrozměrném prostoru a ortogonální grupa v trojrozměrném prostoru). $n=\infty$

Zápis skupin mezer

Pokud odstraníme translační složky v prostorové grupě (tj. odstraníme translace a nahradíme šroubovicové osy obyčejnými osami a pastevní odrazové roviny zrcadlovými rovinami), pak dostaneme bodovou grupu odpovídající prostorové grupě – jednu z 32 skupin krystalografických bodů . Schoenfliesův symbol prostorové grupy je tvořen symbolem odpovídající tečkové grupy s dalším horním indexem, protože jedné tečkové grupě obvykle odpovídá několik prostorových grup najednou (maximálně - 28 prostorových grup pro D 2h grupu ). Index zároveň neposkytuje žádné další informace o symetrických prvcích skupiny, ale jednoduše souvisí se sekvencí, ve které Schoenflies odvodil 230 prostorových skupin . Schoenfliesův symbol pro prostorovou grupu tedy nejenže neříká nic o orientaci prvků symetrie vzhledem k osám buňky, ale neposkytuje ani informaci o centrování buňky a translační složce os a symetrie. letadla. Chcete-li získat úplné informace o vesmírné skupině ze symbolu Schoenflies, musíte použít tabulku, ve které jsou tyto symboly porovnány se symboly Herman-Mogen . Například taková tabulka je uvedena v seznamu vesmírných skupin nebo zde .

Viz také

Externí odkazy

Literatura

Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometrická krystalografie, Moskevská státní univerzita, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Krystalografie, Moskevská státní univerzita, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Theory of crystal symetry, GEOS, 2000 (dostupné on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
P. M. Zorkiy. Symetrie molekul a krystalových struktur, Moskevská státní univerzita, 1986 (dostupné on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
R. Flurry, Skupiny symetrie. Teorie a chemické aplikace, M.: Mir, 1983
I. Hargitai, Symetrie očima chemika. - M.: Mir, 1991 (strana 99)

Poznámky

↑ Arthur Moritz Schönflies, "Krystallsysteme und Krystallstructur", Druck und Verlag von BG Teubner, 1891 . Získáno 3. října 2017. Archivováno z originálu dne 24. července 2017. (neurčitý)
↑ Limitní skupiny bodů . Získáno 18. listopadu 2011. Archivováno z originálu 23. února 2008. (neurčitý)